[論文レビュー] A reducibility result for a class of linear wave equations on $\mathbb{T}^d$

Riccardo Montalto|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{T}^d$ トーラス上での有界でない摂動を伴う線形波動方程式について、初めての還元可能性結果を確立した。$ \varepsilon > 0$ が十分小さく、周波数 $Ø$ が大規模な測度のボレル集合に属する場合、方程式 $ \partial_{tt}v -  \Delta v +  \varepsilon  \mathcal{P}(\omega t)[v] = 0$ が、準周期的かつシンプレクティックな変換により定数係数系に変換可能であることを証明した。主な貢献は、時間に依存する有限ランクで2次の摂動を伴う線形波動方程式のクラスを、定数係数を持つブロック対角形式に還元することであり、これにより長時間安定性解析が可能になった。

ABSTRACT

We prove a reducibility result for a class of quasi-periodically forced linear wave equations on the $d$-dimensional torus $\mathbb{T}^d$ of the form $$ \partial_{tt} v - Δv + \varepsilon {\cal P}(ωt)[v] = 0 $$ where the perturbation ${\cal P}(ωt)$ is a second order operator of the form ${\cal P}(ωt) = - a(ωt) Δ- {\cal R}(ωt)$, the frequency $ω\in {\cal R}^ν$ is in some Borel set of large Lebesgue measure, the function $a : \mathbb{T}^ν o {\cal R}$ (independent of the space variable) is sufficiently smooth and ${\cal R}(ωt)$ is a time-dependent finite rank operator. This is the first reducibility result for linear wave equations with unbounded perturbations on the higher dimensional torus $\mathbb{T}^d$. As a corollary, we get that the linearized Kirchhoff equation at a smooth and sufficiently small quasi-periodic function is reducible.

研究の動機と目的

• $d$ 次元トーラス $\mathbb{T}^d$ 上の有界でない摂動を伴う線形準周期的駆動波動方程式の還元可能性を証明すること。
• 滑らかで小さい準周期的解のまわりでの線形化キルホフ方程式が還元可能であることを確立すること。
• 時間に依存する有限ランクで2次の摂動を伴う波動方程式を、定数係数に還元するKAM型反復的手順を開発すること。
• 時間依存性を除去するシンプレクティックかつ準周期的な変換を構成し、スペクトルパラメータ $|D|^{-M}$ に従って減少する剰余項までにまで到達すること。

提案手法

• ベクトル場 $\mathcal{L}(\varphi)$ の正則化手順を採用し、最高次の項のシンプレクティックな対称化と時間の準周期的再パrametrization を含む。
• 周波数および空間変数における線形作用素のフーリエ係数の成長を制御するために、ブロック分解型ノルムを用いる。
• 複素座標におけるハミルトニアン形式を用い、系を $\varphi$ に依存するハミルトニアンによって支配される1階の時間発展方程式として記述する。
• コア技術は、共役による反復的ブロック対角化であり、作用素を定数係数にまで還元し、残差を $|D|^{-M}$ のオーダーまでに抑える。
• 非共鳴集合 $\Omega_\varepsilon$ を用いた測度推定を行い、その漸近的全測度性を保証することで、適切な周波数 $\omega$ の存在を示す。
• ラプラシアンのスペクトル的性質と集合 $\sigma_0(\sqrt{-\Delta})$ における推定を用い、固有値の分離性および有限次元部分空間内での作用素の逆可換性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathbb{T}^d$ 上で有界でない時間依存摂動を伴う線形波動方程式が、正の測度の周波数集合に対して、準周期的変換により定数係数系に還元可能か？
• RQ2 滑らかで小さい準周期的関数のまわりでの線形化キルホフ方程式が還元可能であるか。これは、解の長時間安定性を示唆する。
• RQ3 有限ランクや2次摂動などの摂動構造にどのような条件が、高次元におけるKAM型還元可能性を可能にするか？
• RQ4 有界でない摂動の下で、時間依存作用素のフーリエ係数の成長をどのように制御できるか？
• RQ5 還元可能性が成り立つ周波数 $\omega$ の集合の測度的サイズは何か。また、小分母とどのように関係するか？

主な発見

• 方程式 $\partial_{tt}v - \Delta v + \varepsilon \mathcal{P}(\omega t)[v] = 0$ は、$\varepsilon$ が十分小さく、$\omega$ が漸近的全測度のボレル集合 $\Omega_\varepsilon \subset \Omega$ に属する場合、還元可能である。
• 摂動 $\mathcal{P}(\omega t)$ は、$-a(\omega t)\Delta - \mathcal{R}(\omega t)$ の形をとり、$a \in \mathcal{C}^q(\mathbb{T}^\nu, \mathbb{R})$ であり、$\mathcal{R}(\omega t)$ は空間成分の平均がゼロの有限ランクかつ対称作用素である。
• 還元は、準周期的かつシンプレクティックな変換により達成され、系は定数係数を持つブロック対角形式に変換可能であり、残差は $|D|^{-M}$ のオーダーまでにまで小さくなる。
• 解のノルム $\|(v(t,\cdot), \psi(t,\cdot))\|_{H^{s+1/2} \times H^{s-1/2}}$ は、$s \in [1/2, \mathfrak{S}_q]$ の範囲で時間に一様に有界であり、長時間安定性を示唆する。
• $\Omega_\varepsilon$ の測度は、ある $0 < a < 1$ に対して $\text{meas}(\Omega \setminus \Omega_\varepsilon) \lesssim \varepsilon^a$ を満たし、$\varepsilon \to 0$ のとき例外集合が縮小することを示している。
• 滑らかで小さい準周期関数のまわりでの線形化キルホフ方程式は還元可能であり、このような解が小さな摂動に対して安定であることが確認された。