[論文レビュー] A regularity condition in polynomial optimization

Vu Trung Hieu|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式最適化問題における解の存在を保証する正則性条件を導入する。この条件は、多項式の最高次同次成分と実行可能集合の漸近的錐を含む漸近的問題の解集合の有界性に基づく。この条件下で、フランク＝ホルツ型の存在定理を確立し、擬凸問題に対するイーヴス型結果を拡張する。さらに、実行可能集合が半代数的である場合に、解関数および最適値関数の局所的安定性と正則性の性質を示す。

ABSTRACT

Let $f$ be a polynomial of degree $d$ and $K$ be a nonempty closed set in $\R^n$. The problem minimizing $f$ on $K$ and its solution set are denoted by $\OP(K,f)$ and $\Sol(K,f)$, respectively. This paper introduces a regularity condition, which says that the solution set of the problem $\OP(K_{\infty},f_d)$, where $K_{\infty}$ is the asymptotic cone of $K$, and $f_d$ is the homogeneous component of degree $d$ of $f$, is bounded. Under this condition, a Frank-Wolfe type theorem is obtained, i.e. if $\OP(K,f)$ is regular and $f$ is bounded from below over $K$, then $\Sol(K,f)$ is nonempty. We have an Eaves type theorem for $\OP(K,f)$ provided that this problem is non-regular and $f$ is pseudoconvex on $K$. Furthermore, when $K$ is semi-algebraic, several local properties of the solution map (e.g., local boundedness, upper semicontinuity, and local upper-Holder stability) and the optimal value function (e.g., local Lipschitz continuity, semismoothness) of polynomial optimization problems are valid. The genericity of the regularity condition is discussed at the end.

研究の動機と目的

• 非空かつ閉である実行可能集合を持つ多項式最適化問題における解の存在の十分条件を確立すること。
• 漸近的挙動に基づく正則性条件を導入することで、フランク＝ホルツおよびイーヴス型定理を一般化すること。
• 半代数的制約下で、解写像の局所的安定性特性（有界性、上半連続性、ホルダー安定性など）を調査すること。
• 半代数的仮定の下で、最適値関数の正則性（局所リプシッツ連続性および半スムーズ性）を分析すること。
• 提案された正則性条件が多項式最適化問題の空間において一般に成立するかを検討すること。

提案手法

• 実行可能集合 $K$ の漸近的錐 $K_{\infty}$ と多項式 $f$ の次数 $d$ の同次成分 $f_d$ を定義する。
• 問題 $\OP(K_{\infty}, f_d)$ の解集合の有界性を正則性条件として導入する。
• この条件を用いて、$f$ が $K$ 上で下から有界である場合に最適解の存在を示し、フランク＝ホルツ定理を拡張する。
• 非正則問題の場合は、$f$ が $K$ 上で擬凸であると仮定し、イーヴス型の存在結果を導出する。
• 半代数的幾何の道具を用いて、解写像の局所的有界性、上半連続性、および局所的上位ホルダー安定性を確立する。
• 半代数的仮定の下で、最適値関数の局所的リプシッツ連続性と半スムーズ性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式最適化問題 $\OP(K,f)$ が、$f$ が $K$ 上で下から有界であるとき、どのような条件下で空でない解集合を持つのか？
• RQ2 漸近的挙動に基づく正則性条件下で、フランク＝ホルツ定理を多項式最適化に拡張できるか？
• RQ3 実行可能集合 $K$ が半代数的である場合、解写像のどのような局所的安定性特性（例：有界性、半連続性、ホルダー安定性）が成立するか？
• RQ4 半代数的制約下で、最適値関数の正則性（リプシッツ連続性および半スムーズ性）はどの程度成立するか？
• RQ5 提案された正則性条件は、多項式最適化問題の空間において一般に成立するか？

主な発見

• 問題 $\OP(K_{\infty}, f_d)$ の解集合の有界性を保証する正則性条件は、$f$ が $K$ 上で下から有界である限り、$\OP(K,f)$ の解の存在を保証する。これはフランク＝ホルツ定理の一般化である。
• 非正則問題の場合は、$f$ が $K$ 上で擬凸であると仮定すれば、$\OP(K,f)$ は解を有する。これはイーヴス型の存在結果の拡張である。
• $K$ が半代数的である場合、解写像は局所的有界性、上半連続性、および局所的上位ホルダー安定性を有する。
• 半代数的仮定の下で、最適値関数は局所的リプシッツ連続性および半スムーズ性を有する。
• 正則性条件は、多項式最適化問題の空間において一般に成立し、その堅牢性を示している。