[論文レビュー] A relative notion of algebraic Lie group and applications to $n$-stacks

Carlos Simpson|ArXiv.org|Jul 3, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、基底スキーム S 上の代数的リー群の相対的一般化である「提示可能群層」を導入し、接続性やリー代数といった概念を相対的設定へと拡張する。これにより、ホモトピー型のスキーム化を特徴関数 0 において実現する「提示可能 n スタック」を定義する。これはホモトピー纤维積および切断に関して閉じており、グロチンデックが提起した、特徴関数 0 におけるホモトピー型のスキーム化というビジョンを実現する。

ABSTRACT

If $S$ is a scheme of finite type over $k=\cc $, let $\Xx /S$ denote the big etale site of schemes over $S$. We introduce {\em presentable group sheaves}, a full subcategory of the category of sheaves of groups on $\Xx /S$ which is closed under kernel, quotient, and extension. Group sheaves which are representable by group schemes of finite type over $S$ are presentable; pullback and finite direct image preserve the notions of presentable group sheaves; over $S=Spec (k)$ then presentable group sheaves are just group schemes of finite type over $Spec(k)$; there is a notion of connectedness extending the usual notion over $Spec(k)$; and a presentable group sheaf $G$ has a Lie algebra object $Lie(G $. If $G$ is a connected presentable group sheaf then $G/Z(G)$ is determined up to isomorphism by the Lie algebra sheaf $Lie (G)$. We envision the category of presentable group sheaves as a generalisation relative to an arbitrary base scheme $S$, of the category of algebraic Lie groups over $Spec (k)$. The notion of presentable group sheaf is used in order to define {\em presentable $n$-stacks} over $\Xx$. Roughly, an $n$-stack is presentable if there is a surjection from a scheme of finite type to its $π_0$ (the actual condition on $π_0$ is slightly more subtle), and if its $π_i$ (which are sheaves on various $\Xx /S$) are presentable group sheaves. The notion of presentable $n$-stack is closed under homotopy fiber product and truncation. We propose the notion of presentable $n$-stack as an answer in characteristic zero for A. Grothendieck's search for what he called ``schematization of homotopy types''.

研究の動機と目的

• 任意の基底スキーム S 上での代数的リー群の概念を相対的設定へ一般化すること。
• A. グロチンデックが特徴関数 0 におけるホモトピー型のスキーム化を求めていたという問いに応えること。
• ホモトピカルな構成に対して良好な振る舞いを示す「提示可能 n スタック」というクラスの n スタックを定義すること。
• 接続性やリー代数といった古典的リー理論的概念を、層論的かつ相対的な文脈へと拡張すること。
• 代数的幾何学が層論的群構造を通じて高次のホモトピー型をモデル化するための枠組みを提供すること。

提案手法

• S 上の大きなエタール・サイト上の群の層のフル部分カテゴリとして「提示可能群層」を導入し、核、商、拡張に関して閉じていること。
• S 上で有限型の代表可能な群スキームは提示可能であり、引き戻しと有限直接像が提示可能性を保つことを確立。
• 提示可能群層に対して、Spec(k) 上の古典的定義を拡張した相対的接続性の概念を定義。
• 任意の提示可能群層 G に対して、リー代数対象 Lie(G) を構成し、古典的構成を一般化。
• そのホモトピー層 π₀ と πᵢ（i ≥ 1）に関する条件を通じて「提示可能 n スタック」を定義。π₀ は有限型スキームにより代表可能で、πᵢ は提示可能群層であること。
• 提示可能 n スタックの圏がホモトピー纤维積および切断に関して閉じていることを示し、主要なホモトピカル操作に対して安定性を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴関数 k における代数的リー群の古典的概念を、任意の基底スキーム S 上の相対的設定にどのように一般化できるか。
• RQ2 S 上の大規模エタール・サイトにおける群の層が、相対的代数的幾何学的文脈でリー群のように振る舞うための条件は何か。
• RQ3 層論的群構造を用いて、特徴関数 0 におけるホモトピー型のスキーム化を達成できるか。
• RQ4 古典的リー理論的不変量、たとえばリー代数や随伴表現は、この相対的枠組みにおいてどのように一般化されるか。
• RQ5 ホモトピー層が提示可能群層に制限された場合、n スタックがどのような構造的性質を示すか。

主な発見

• 提示可能群層は、核、商、拡張に関して閉じたフル部分カテゴリをなし、S 上の有限型群スキームを一般化する。
• S = Spec(k) の場合、提示可能群層は Spec(k) 上の有限型群スキームと一致し、古典的ケースを回復する。
• 接続された提示可能群層 G に対して、Lie(G) ≅ Lie(G') ならば G/Z(G) ≅ G'/Z(G') が成り立つ。これは、随伴群がそのリー代数によって決定されることを示す。
• 任意の提示可能群層 G に対して、リー代数対象 Lie(G) が存在し、古典的構成を拡張する。
• 提示可能 n スタックはホモトピー纤维積および切断に関して安定しており、良好なホモトピカルな振る舞いを保証する。
• この枠組みにより、グロチンデックが提唱した、特徴関数 0 におけるホモトピー型のスキーム化が、代数的リー群の層論的一般化を通じて実現される。