[論文レビュー] On non-strict notions of $n$-category and $n$-groupoid via multisimplicial sets

Zouhair Tamsamani|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、マルチシム्पルイシャルセットを用いて非厳密な $n$-圏および $n$-群作用素のシムプルイシャル的アプローチを導入し、圏の神経構成の一般化を行う。空間 $X$ からその $n$-切断ホモトピー型を捉える $n$-群作用素 $Π_n(X)$ を定義し、幾何的実現と $Π_n$ が $n$-切断空間と $n$-群作用素の間で逆同値をなすと予想する。

ABSTRACT

In this paper we first give a simplicial approach to the definition of a non strict $n$-category that we call an $n$-nerve following the idea that a category could be interpreted as a simplicial set, and we prove that our construction generalises the case of the usual non strict 2-category. Next we give a simplicial definition of a non strict $n$-groupoid. Then we associate to any space $X$ an $n$-groupoid $Π_{_{n}}(X)$ which generalises the famous Poincaré groupoid $Π_{_{1}}(X)$ and embodies the $n$-truncated homotopy type of $X$. We also give a natural construction for the geometric realisation of an $n$-groupoid and we conjecture that the functor geometric realisation is an inverse up to equivalence to the functor $Π_{_{n}}(\ )$ from the category of $n$-truncated topological spaces to the category $n$-Gr of $n$-groupoids.

研究の動機と目的

• 非厳密な $n$-圏をマルチシムプルイシャルセットを用いてシムプルイシャル的枠組みで開発すること。
• 圏の神経構成を高次圏的構造へ一般化すること。
• 空間 $X$ からその $n$-切断ホモトピー型を符号化する $n$-群作用素 $\u03a0_n(X)$ を定義すること。
• $n$-群作用素に対する自然な幾何的実現関手を確立すること。
• 幾何的実現と $\u03a0_n$ が $n$-切断空間と $n$-群作用素の間で圏の同値をなすと予想すること。

提案手法

• 非厳密な $n$-圏をモデル化する基盤としてマルチシムプルイシャルセットを用いる。
• 反復的シムプルイシャル構成を用いて非厳密な $n$-圏の $n$-神経を定義する。
• $\u03a0_n(X)$ を空間 $X$ に関連する $n$-群作用素として構成し、基本群作用素 $\u03a0_1(X)$ を一般化する。
• マルチシムプルイシャル神経構成を用いて $n$-群作用素のための幾何的実現関手を導入する。
• 高次元における整合性を保証するためにシムプルイシャル技法とホモトピー代数を用いる。
• 高次圏が高次元のシムプルイシャル対象として符号化可能であるというアイデアを応用し、古典的神経関手を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非厳密な $n$-圏をマルチシムプルイシャルセットを用いて、圏の神経構成を一般化する形で定義する方法は何か？
• RQ2 空間の $n$-切断ホモトピー型を捉える適切なシムプルイシャル構成は何か？
• RQ3 $n$-群作用素に対して自然な幾何的実現関手を定義できるか？ また、それは $\u03a0_n$ 構成とどのように関係するか？
• RQ4 $n$-切断空間から $n$-群作用素への関手 $\u03a0_n$ が幾何的実現と合成された際に同値となるか？
• RQ5 提案された $n$-群作用素 $\u03a0_n(X)$ は、古典的なポincare基本群作用素 $\u03a0_1(X)$ をどのように一般化するか？

主な発見

• 論文は、マルチシムプルイシャルセットを用いて弱い $n$-圏の $n$-神経を構成し、古典的神経関手の一般化として非厳密な $n$-圏を構成する。
• 空間 $X$ からその $n$-切断ホモトピー型を符号化する $n$-群作用素 $\u03a0_n(X)$ を定義し、$\u03a0_1(X)$ を一般化する。
• マルチシムプルイシャル神経および実現技法を用いて、$n$-群作用素に対する自然な幾何的実現関手を構成する。
• 論文は、幾何的実現関手が $\u03a0_n$ 関手の擬似逆関手であると予想し、$n$-切断空間のホモトピー圏と $n$-群作用素の圏との間で同値を確立する。
• この構成は非厳密な2-圏の場合を一般化しており、次元2におけるアプローチの妥当性を検証する。
• この枠組みは、ホモトピー的構造と整合性を持つシムプルイシャル的・マルチシムプルイシャル的モデルとしての高次圏を提供する。