[論文レビュー] A Relativistic Approach on 1-Jet Spaces of the Rheonomic Berwald-Moor Metric

Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、時間に依存するFinsler構造に基づく相対論的重力場理論を構築するために、1-jet空間上にリーマン的でないFinsler幾何を導入する。主な貢献は、Cartanの標準接続、d-ねじれ、d-曲率、幾何的アインシュタイン方程式を備えた非等方的幾何的枠組みを構築したことである。この理論は、無限遠における真空中でも非自明なストレインエネルギー成分を示しており、強い重力的含みを示唆するとともに、電磁気的効果は自明であることが判明した。

ABSTRACT

The aim of this paper is to develop on the 1-jet space J^1(R,M^4) the Finsler-like geometry (in the sense of d-connection, d-torsions and d-curvatures) of the rheonomic Berwald-Moor metric. A natural geometrical gravitational field theory produced by the rheonomic Berwald-Moor metric is also constructed.

研究の動機と目的

• 1-jet空間 $J^1(\bbR, M^4)$ 上に、時間に依存するBerwald-Moór計量を用いたFinsler的幾何的枠組みを構築すること。
• 時間に依存するBerwald-Moór計量のFinsler幾何に基づく相対論的重力場理論を構築すること。
• この非等方的時空設定におけるd-接続、d-ねじれ、d-曲率、および幾何的アインシュタイン方程式を分析すること。
• 特にストレインエネルギー保存則と電磁気的双対性に関する物理的含みを調査すること。

提案手法

• 1-jet空間 $J^1(\bbR, M^4)$ 上に、$h_{11}(t)$ を $\bbR$ 上のリーマン計量とする時間に依存するBerwald-Moór計量 $\mathring{F}(t,y) = \sqrt{h^{11}(t)} \sqrt[4]{y_1^1 y_1^2 y_1^3 y_1^4}$ を用いる。
• 計量から非線形接続およびCartanの標準接続が導かれ、これによりd-接続、d-ねじれ、d-曲率が定義可能となる。
• d-テンソル $G_{ij11}$ とFinsler関数 $F$ を用いて幾何的アインシュタイン方程式が構成され、$F^2$ の二階偏微分から得られる計量 $g_{ij}(t,x,y)$ が使用される。
• ストレインエネルギーd-テンソル成分 $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_i$, および $\mathcal{T}_{(i)}^{(1)}$ が計算され、非ゼロであることが示され、非自明な重力的効果を示している。
• ラグランジュ的枠組みから導かれる電磁気的特徴付き2形式 $\mathbb{F}$ が存在するが、この計量では恒等的にゼロとなることが判明し、電磁気的効果が自明であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するBerwald-Moór計量を用いて、1-jet空間 $J^1(\bbR, M^4)$ 上にFinsler的幾何をどのように定義できるか？
• RQ2 この幾何的枠組みにおけるd-接続、d-ねじれ、d-曲率成分はそれぞれどのように表されるか？
• RQ3 この計量下での幾何的アインシュタイン方程式およびストレインエネルギーd-テンソル成分の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 この計量から導かれる電磁気理論が、なぜ恒等的に自明な $\mathbb{F}$-形式となるのか？
• RQ5 無限遠においても非ゼロのストレインエネルギー成分が得られるという事実から、どのような物理的含みが生じるのか？

主な発見

• すべての $i = 1,\dots,4$ に対して、ストレインエネルギーd-テンソル成分 $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_i$, および $\mathcal{T}_{(i)}^{(1)}$ は非ゼロであり、真空中の条件でも重力場が非自明であることを示している。
• 方程式系 $\frac{dh_{11}}{dt}\left[2\frac{d^2h_{11}}{dt^2} - \frac{3}{h_{11}}\left(\frac{dh_{11}}{dt}\right)^2\right] = 0$ および $9h_{11} + (\varkappa_{11}^1)^2 = 0$ は $h_{11} > 0$ に対して解をもたないため、ストレインエネルギー成分が消えることは不可能であることが証明された。
• 無限遠（$y_1^i \to \infty$）において、ストレインエネルギーd-テンソルはゼロに近づくため、理論が漸近的領域で物理的に妥当であると考えられる。
• 電磁気的特徴付き2形式 $\mathbb{F} = \mathring{\mathbb{F}} = 0$ は恒等的にゼロであり、この枠組みでは幾何的電磁気理論が自明であることが示された。
• d-ねじれおよびd-曲率が非ゼロであるため、理論は強い重力的含みを示すが、電磁的効果は存在しない。
• ストレインエネルギーd-テンソルの保存則は、d-接続および曲率成分から導かれた $\frac{\partial \mathcal{T}_{(1)(i)}^{(m)(1)}}{\partial y_1^m} = \mathcal{T}_{(1)(i)}^{(r)(1)}C_{r(m)}^{m(1)} - \mathcal{T}_{(1)(r)}^{(m)(1)}C_{i(m)}^{r(1)}$ として表現される。