[論文レビュー] A remark on charge transfer processes in multi-particle systems

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、任意の局所的に有限なグラフ上に存在する $N > 2$ 粒子系に対して、2 粒子系にのみ成立していたとされていた Wegner 型の固有値集中評価を一般化し、多粒子量子系における不純物系に対する改善された固有値集中境界を確立する。粒子間の強い結合が標準的手法を複雑にする $N \geq 3$ の場合においても、遠く離れた配置間の共鳴確率がエネルギー差分に対して多項式的に減少することを示し、相互作用や不純物に関する最小限の仮定のもとでフェルミ粒子系・ボーズ粒子系におけるより強い局在性結果を得ることが可能になる。

ABSTRACT

We assess the probability of resonances between sufficiently distant states in a combinatorial graph serving as the configuration space of an N-particle disordered quantum system. This includes the cases where the transition "shuffles" the particles in the configurations. In presence of a random external potential V, such pairs of configurations give rise to local (random) Hamiltonians which are strongly coupled, so that eigenvalue (or eigenfunction) correlator bounds are difficult to obtain. This difficulty, which occurs for three or more particles, results in eigenfunction decay bounds weaker than expected. We show that more efficient bounds, obtained so far only for 2-particle systems, extend to any number of particles.

研究の動機と目的

• $N \geq 3$ の多粒子不純物量子系における固有値および固有関数の減衰境界を求める困難さ、特に遠く離れた配置間の強い結合が標準的手法を複雑にする問題に対処すること。
• 2 粒子系にのみ成立していた Wegner 型の固有値集中評価を、任意の局所的に有限なグラフ上に存在する一般の $N > 2$ 粒子系に拡張すること。
• 対称関数および反対称関数を用いて適切な配置空間を構成することで、この手法をフェルミ粒子系およびボーズ粒子系に適応させること。
• 粒子のラベルに依存しない、対称部分空間および反対称部分空間におけるハミルトニアンの自己無撞着な定式化を提供すること。
• 多粒子系における遠く離れた有限体積ハミルトニアン同士のスペクトル的接近確率に対する厳密な確率的評価を確立すること。

提案手法

• $N$ 粒子配置空間における「分離可能な」2 球の幾何的概念を用いて、遠く離れた領域間のスペクトル重ね合わせを制御する。
• Stollmann の対角的単調関数に関する補題を用い、2 つのハミルトニアンが遠く離れた有限体積に制限された場合のスペクトル的接近確率を評価する。
• フェルミ粒子系およびボーズ粒子系の配置空間における球を、対称性を適切に反映する max-距離計 $\boldsymbol{\rho}$ を用いて定義する。
• 元々 $\mathbb{Z}^d$ に対して開発された証明技法を一般のグラフ $\mathcal{Z}$ に適応させつつ、体積成長および共鳴確率の制御を維持する。
• グラフラプラシアンと局所ポテンシャルを用いて、対称および反対称部分空間における $N$ 粒子ハミルトニアンの自己無撞着な表現を導入する。
• 両方の粒子系に対して有効な形で、$\mathbb{P}\{\operatorname{dist}(\sigma(H'), \sigma(H'')) \leq s\} \leq h_L(s)$ という形の評価を導出し、$h_L(s)$ が $L$ および $s$ に関して多項式的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多粒子不純物系における固有値集中評価を 2 粒子系にとどまらず $N > 2$ に拡張することは可能か？
• RQ2 $N \geq 3$ の多粒子系において、エネルギー差分が大きい場合に、遠く離れた配置間のスペクトル的共鳴確率はどのように減少するか？
• RQ3 $\mathbb{Z}^d$ に対して用いられた技法を、共鳴確率の制御を失うことなく、任意の局所的に有限なグラフへ一般化できるか？
• RQ4 粒子統計（フェルミ粒子対ボーズ粒子）が、不純物系における有限体積ハミルトニアンのスペクトル的接近に与える影響は何か？
• RQ5 対称および反対称部分空間におけるハミルトニアンの自己無撞着な定式化を構築できるか？その際、Wegner 評価の構造を保つことができるか？

主な発見

• 本稿は、$N > 2$ の多粒子系に対して、2 粒子系にのみ知られていた Wegner 型の固有値集中評価を一般化し、新たな境界を確立した。
• 2 つの遠く離れた有限体積ハミルトニアン間のスペクトル的接近確率に対する評価は、$h_L(s) = C' L^{A'} s^{b'} + C'' L^{A''} s^{b''}$ の形をとり、エネルギー差分 $s$ に対して多項式的減少を示している。
• この評価はフェルミ粒子系およびボーズ粒子系の両方に対して成立し、グラフ $\mathcal{Z}$ の $N$ 重積上での対称関数および反対称関数を用いて定義された配置空間に基づいている。
• 手法は $\mathbb{Z}^d$ から任意の局所的に有限なグラフへ一般化されており、共鳴確率の減少率が保持されている。
• 証明は幾何的分離条件 $\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{S}}(\mathbf{u}', \mathbf{u}'') > (4N - 2)L$ に依存しており、球の中心間の十分な距離を保証する。
• この結果は、遠く離れた配置間の強い結合によって従来の弱い減衰境界に閉じ込められていた多粒子不純物系における固有関数のより強い局在性を示唆している。