[論文レビュー] A Report on Realizability

Walter Ferrer Santos, Mauricio Guillermo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Semantic Web and Ontologies参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、実現可能性における計算的意味論と圏論的意味論を統一する枠組みとして、Krivineの順序付き組合せ代数（$\mathcal{^{K}OCA}$）を導入する。抽象Krivine構造に随伴子と完全性条件を追加することで、著者らは$\mathcal{^{K}OCA}$代数が直接トリポスを生成し、高階言語、特に高階ペアノ算術に対しても実現可能性を支持することを示している。これにより、同一の代数的構造内で証明論的意味論と圏論的意味論の両方が可能になる。

ABSTRACT

Besides recalling the basic definitions of Realizability Lattices, Abstract Krivine Structures, Ordered Combinatory Algebras and Tripos and reviewing its relationships, we propose a new foundational framework for realizability. Motivated by Streicher's paper "Krivine's Classical Realizability from a Categorical Perspective" [9], we define the concept of Krivine's Ordered Combinatory Algebras (kOKA) as a common platform that is strong enough to do both: categorical and computational semantics. The OCAs produced by Streicher from AKSs in [9] are particular cases of kOKAs.

研究の動機と目的

• 実現可能性理論における計算的意味論と圏論的意味論を統一するため、共通の代数的基盤を導入すること。
• Streicherの抽象Krivine構造（AKS）から順序付き組合せ代数（OCAs）を構成する手法を、より広い代数のクラスへ一般化すること。
• $\mathcal{^{K}OCA}$代数—随伴子と完全性を備えたもの—が、AKSに戻ることなく直接トリポスを生成できることを示すこと。
• 高階ペアノ算術を含む高階言語における実現可能性を、$\mathcal{^{K}OCA}$枠組み内で確立すること。
• ペアノ算術の主要な公理（帰納法を除く）が、任意の$\mathcal{^{K}OCA}$で実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 随伴子を備えたOCAsの一般化として、Krivineの順序付き組合せ代数（$\mathcal{^{K}OCA}$）を定義し、論理的含意が内部化されることを保証する。
• 随伴子$\operatorname{e}$を導入し、$a \circ b \leq c$ならば$\operatorname{e} \circ a \leq b \rightarrow c$が成り立つようにすることで、含意の内部化を可能にする。
• 抽象Krivine構造（AKS）から$\mathcal{^{K}OCA}$を構成し、StreicherのOCAsが特別な場合であることを示す。
• 任意の下界に関して完全性条件を課すことにより、$\mathcal{^{K}OCA}$から直接トリポスを誘導する。
• 高階言語$\mathcal{L}^\omega$（$\mathcal{L}^\omega$-項と論理式を含む）に対する実現可能性解釈を定義する。
• 特定の実現者（例：$\lambda^*xx$および$\lambda^*x\,x\operatorname{s}$）を用いて、ペアノ算術の等式公理が$\mathcal{^{K}OCA}$で実現可能であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の代数的構造が、実現可能性理論における計算的意味論と圏論的意味論を統一できるか？
• RQ2 OCAsにおける随伴子は、含意を内部化し、論理的推論を可能にするためにどのように利用できるか？
• RQ3 中間のAKSに依存せずに、$\mathcal{^{K}OCA}$から直接トリポスを誘導できるか？
• RQ4 高階ペアノ算術の等式公理は$\mathcal{^{K}OCA}$で実現可能か？
• RQ5 完全な高階論理の実現可能性は、$\mathcal{^{K}OCA}$枠組み内で定義可能か？

主な発見

• $\mathcal{^{K}OCA}$代数のクラスは、実現可能性における計算的意味論と圏論的意味論の両方を支える共通の基盤を提供する。
• 任意の抽象Krivine構造（AKS）は、随伴子を備えた$\mathcal{^{K}OCA}$を生成する。これは、Streicherの構成を一般化するものである。
• 任意の下界に関して完全性が保たれる場合、$\mathcal{^{K}OCA}$はAKSに戻ることなく直接トリポスを誘導する。
• 恒等項$\lambda^*xx$は、任意の$\mathcal{^{K}OCA}$でペアノ算術のすべての等式公理を実現する。
• 項$\lambda^*x\,x\operatorname{s}$は、$\mathcal{^{K}OCA}$における公理$\forall x^I(\operatorname{succ}^I x \neq 0^I)$を実現する。
• 高階ペアノ算術（Leibnizの等価性による$\mathds{N}(z^I)$の定義を含む）の実現可能性は、$\mathcal{^{K}OCA}$枠組みで完全にサポートされている。