[論文レビュー] A Representation of Real and Complex Numbers in Quantum Theory

Paul Benioff|ArXiv.org|Aug 29, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限のキュービット文字列からなる量子状態のコーシー列の同値類を用いて、実数および複素数の量子理論的表現を提案する。2次元格子上に生成・消滅演算子を定義し、有理数のフォック状態を構築することで、算術演算をコーシー列へと拡張し、古典的実数体 R や複素数体 C を参照せずに完全な数体系を導出する。この手法により、個々の項がもつれ状態にあっても、量子重ね合わせが実数を表現可能であることが示された。

ABSTRACT

A quantum theoretic representation of real and complex numbers is described here as equivalence classes of Cauchy sequences of quantum states of finite strings of qubits. There are 4 types of qubits each with associated single qubit annihilation creation (a-c) operators that give the state and location of each qubit type on a 2 dimensional integer lattice. The string states, defined as finite products of creation operators acting on the qubit vacuum state correspond to complex rational numbers with real and imaginary components. These states span a Fock space. Arithmetic relations and operations are defined for the string states. Cauchy sequences of these states are defined, and the arithmetic relations and operations lifted to apply to these sequences. Based on these, equivalence classes of these sequences are seen to have the requisite properties of real and complex numbers. The representations have some interesting aspects. Quantum equivalence classes are larger than their corresponding classical classes, but no new classes are created. There exist Cauchy sequences such that each state in the sequence is an entangled superposition of the real and imaginary components, yet the sequence is a real number. Also, except for coefficients of superposition states, the construction is done with no reference to the real and complex number base, R and C, of the Fock space.

研究の動機と目的

• 有限のキュービット文字列を用いて、古典的数値基底に依存しない実数および複素数の量子理論的基盤を構築すること。
• 物理的計算（有限系）と数学的完全性（実数／複素数）の間の溝を、量子コーシー列を介して埋める。
• 量子表現が、古典的数値基底を用いずに、実数および複素数の代数的・位相的構造を保持できるかを検討すること。
• 量子重ね合わせおよびもつれが、量子理論内での数体系構築に与える影響を調査すること。
• 数体系を量子形式主義に埋め込むことで、物理学と数学の統一理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 真空状態に有限個の生成演算子の積を作用させることで状態を構成し、フォック空間 F 内に複素有理数を得る。
• 2次元整数格子上に、状態と位置を符号化するための4種類のキュービットを定義し、それぞれに異なる消滅／生成演算子を割り当てる。
• 文字列状態上で算術演算（加法、乗法）を定義し、それらをそのような状態のコーシー列へと拡張する。
• 実数および複素数は、フォック空間内の有理数状態のコーシー列の同値類として表現される。
• 明示的な古典的 R や C の参照を避ける。代わりに、R および C はこれらの列の同値類として導出される。
• 差のノルムを用いて列の空間に距離を定義し、R^{ψ_n} および C^{ψ_n} が完備距離空間であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限のキュービット文字列のみを用いて、量子理論内に実数および複素数を一貫して表現できるか？
• RQ2 量子重ね合わせおよびもつれが、コーシー列における実数の表現にどのように影響を与えるか？
• RQ3 古典的数体系（R, C）と、それらの量子的構築物（R^{ψ_n}, C^{ψ_n}）との関係は何か？
• RQ4 同一の物理系が、標準的フォック空間と、量子数に基づくフォック空間（F^{ψ_n}）の両方で記述可能か？
• RQ5 より複雑な数体系を段階的に構築するためのフォック空間の階層的構築が可能か？

主な発見

• 実数および複素数は、有限キュービット文字列の量子状態のコーシー列の同値類として表現され、代数的および位相的構造が保持される。
• 量子の同値類は古典的ものより大きいが、新たな数のクラスは生成されず、古典的数論と整合性を保つ。
• コーシー列は、実部および虚部のもつれ重ね合わせを含んでもよいが、依然として実数に収束する。これは、数の表現における非自明な量子的挙動を示している。
• この構成は、古典的基底 R や C に依存しない。すべての数体系は、量子状態および列から導出され、循環論法を回避する。
• 差のノルムを用いて列の空間に距離を定義し、R^{ψ_n} および C^{ψ_n} が完備距離空間であることが確認された。
• この枠組みは、より複雑な数体系を段階的に埋め込むフォック空間の階層的構築の可能性を示唆し、基礎物理学および量子数学の新たな道筋を開く。