[論文レビュー] A Royal Road to Quantum Theory (or Thereabouts), Extended Abstract

Alexander Wilce|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 29被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、形式的実Jordan代数に基づく確率的モデルを用いて、有限次元量子理論の簡素化された公理的導出を提示する。状態空間の均一性と自己双対性を仮定することで、実、複素、ケイリー数の量子理論を統一するロイヤル・ロードを導く一方で、標準量子力学をわずかに超える拡張も許容する。

ABSTRACT

A representation of finite-dimensional probabilistic models in terms of formally real Jordan algebras is obtained, in a strikingly easy way, from simple assumptions. This provides a framework in which real, complex and quaternionic quantum mechanics can be treated on an equal footing, and allows some (but not too much) room for other alternatives. This is based on earlier work (arXiv:1206:2897), but the development here is further simplified, and also extended in several ways. I also discuss the possibilities for organizing probabilistic models, subject to the assumptions discussed here, into symmetric monoidal categories, showing that such a category will automatically have a dagger-compact structure. (Recent joint work with Howard Barnum and Matthew Graydon (arXiv:1507.06278) exhibits several categories of this kind.)

研究の動機と目的

• 基本的な確率的仮定から、概念的に明快で数学的に単純な有限次元量子力学の導出を提供すること。
• 形式的実Jordan代数に基づく一様な枠組み内で、実、複素、ケイリー数の量子力学を統一すること。
• 確率的モデルが対称モノイダル圏に整理可能となる条件を特定すること。
• p-可逆プロセスとスペクトル構造が、量子的類似理論を特徴付ける役割を果たすかを調査すること。
• 均一性、自己双対性、スペクトル性の公理が、Jordanモデルを一意に特徴づけ、それによって量子理論がJordan代数的レベルまで回復されるかどうかを特定すること。

提案手法

• モデルは、M(A) をテスト空間、Ω(A) を確率重み（状態）の凸集合とするペア (M(A), Ω(A)) として定義され、V(A) は状態が張るベクトル空間を表す。
• 情報処理および対称性の原理に基づいて、状態空間 V(A) の均一性と自己双対性を基礎的な物理的仮定として提示する。
• Koecher-Vinbergの定理を適用し、任意の有限次元、自己双対的、均一な順序付きベクトル空間に単位元が存在する場合、それが形式的実Jordan代数に同型であることを示す。
• 共役系とp-可逆的対称フィルタの存在を通じてスペクトル構造を導入し、効果上の関数計算を可能にする。
• 合成系は、非信号性を満たす合成ABとしてモデル化され、モノイダル積が π(x,y) = xy ∈ V(AB)* を満たすように定義され、部分系間の信号伝播を防ぐ。
• 鋭さ、スペクトル性、共役構造を仮定することで、モデルの対称モノイダル圏において、V(A) ≃ V(A)* を与える標準的同型を用いて、ダガー-コンパクト構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元量子力学は、確率的モデルに関する単純で物理的に解釈可能な仮定から導けるか？
• RQ2 状態空間の均一性と自己双対性が、形式的実Jordan代数を基礎構造として一意に特徴づける程度はどの程度か？
• RQ3 プロセス（例：p-可逆性、対称性）にどのような条件が、スペクトル分解と関数計算の回復に十分か？
• RQ4 局所トモグラフィーを仮定しないで、ダガー-コンパクト構造を持つ確率的モデルの対称モノイダル圏を構成できるか？
• RQ5 鋭さ、スペクトル性、共役構造を持つモデルがダガー-コンパクト圏に属する場合、それが必ずJordanモデルであるという結果の逆は成り立つか？

主な発見

• 状態空間 V(A) の均一性と自己双対性の仮定のもとで、Koecher-Vinbergの定理により、V(A) が形式的実Jordan代数に同型であることが保証される。
• 確率的モデルがJordanモデルであるための必要十分条件は、以下のいずれかである：(a) 非特異状態に対して、共役とp-可逆的対称フィルタが存在すること、または (b) 鋭さ、共役の存在、任意のp-可逆的フィルタ、および相関原理の成立。
• スペクトル分解が回復される：任意の効果 a ∈ E(A) は、t_i > t_j かつ e_i が同時に鋭い効果として直交するような一意な表現 a = ∑t_i e_i を持つ。これにより関数計算が可能になる。
• Jordan積は a·b = (a+b)^2 - a^2 - b^2 として一意に定まり、双線形性は均一性とKoecher-Vinbergの定理から導かれる。
• 鋭さ、スペクトル性、共役構造を満たすモデルの対称モノイダル圏において、追加的な構造（例：時間反転の整合性）が満たされれば、標準的なダガー-コンパクト構造が誘導される。
• 局所トモグラフィーを仮定しない状況でも、2レベルの古典的ビットを導入することで、複素系における時間反転対称性を回復し、実、複素、ケイリー数の量子力学を統一するダガー-コンパクト圏を構成可能である。