[論文レビュー] A Sample Path Large Deviation Principle for a Class of Population Processes

William H. Sandholm, Mathias Staudigl|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Game Theory and Applications参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単体内の離散グリッド上におけるマルコフ連鎖について、境界効果を考慮したサンプルパスの大偏差原理を確立する。状態に依存するクラメール変換の連続性を証明することで、状態依存のダイナミクスと境界を有する系におけるレアイベント確率の厳密なレート関数を導出し、大偏差解析を可能にする。

ABSTRACT

We establish a sample path large deviation principle for sequences of Markov chains arising in game theory and other applications. As the state spaces of these Markov chains are discrete grids in the simplex, our analysis must account for the fact that the processes run on a set with a boundary. A key step in the analysis establishes joint continuity properties of the state-dependent Cram´ er transform L( ; ), the running cost appearing in the large deviation principle rate function.

研究の動機と目的

• ゲーム理論および関連応用分野における人口過程をモデル化するマルコフ連鎖のための大偏差原理を開発すること。
• 確率単体内のグリッドとしての離散状態空間における境界効果の課題に取り組むこと。
• 大偏差原理におけるレート関数の主要構成要素である、状態に依存するクラメール変換の連続性を確立すること。
• 状態依存のダイナミクスを有する有限状態・連続時間人口過程における稀な事象の確率のための厳密な解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 単体内の離散グリッド上で時間連続のマルコフ連鎖がどのように進化するかを分析し、人口分布を表すものとする。
• 大偏差レート関数におけるランニングコスト関数を、状態に依存するクラメール変換 L(·; ·) として特定する。
• クラメール変換 L(·; ·) が状態変数および制御変数の両方で連続であることを証明し、大偏差原理に不可欠な性質を示す。
• サンプルパス大偏差理論を適用し、経路確率のための変分表現によるレート関数を導出する。
• クラメール変換の連続性を用いて、経路空間上でのレート関数が適切に定義され、下半連続であることを保証する。
• 単体の境界付近でのプロセスおよびレート関数の振る舞いを注意深く分析することで、境界効果を適切に取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体内に位置する離散グリッド上を進化するマルコフ連鎖について、境界付近を含めて大偏差原理を厳密に確立する方法は何か？
• RQ2 大偏差原理の有効性を保証するため、状態に依存するクラメール変換に必要な正則性の性質は何か？
• RQ3 状態空間における境界効果が、経路空間の大偏差におけるレート関数の形および連続性にどのように影響するか？
• RQ4 人口過程において、クラメール変換が状態および制御変数の両方で連続となるための条件は何か？
• RQ5 状態依存の遷移レートを有する確率的人口ダイナミクスにおけるレアイベントをモデル化する際に、大偏差原理を適用可能か？

主な発見

• 境界効果を考慮した単体内の離散グリッド上におけるマルコフ連鎖について、サンプルパス大偏差原理が確立された。
• 状態に依存するクラメール変換 L(·; ·) の連続性が証明され、これによりレート関数の下半連続性および適切な定義が保証された。
• レート関数は、ランニングコストを含む変分公式として表現され、クラメール変換がその中心的役割を果たす。
• 解析により、プロセスが単体の境界に近づいても、大偏差原理が成立することが確認された。
• この枠組みは、状態依存のダイナミクスを有するゲーム理論および他の応用分野の人口過程に適用可能である。
• 連続性の結果により、状態および制御変数の微小な摂動に対しても、大偏差推定のロバスト性が保証された。