[論文レビュー] A service system with packing constraints: Greedy randomized algorithm achieving sublinear in scale optimality gap

Alexander Stolyar, Yuan Zhong|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のパッキング制約を伴うサービスシステムにおける動的顧客パッキングのためのGRAND(Z^p)アルゴリズムを提案する。ここで、ゼロサーバーの数はZ^p（p ∈ (1−1/(8κ), 1)）に比例する。本稿は、定常状態における最適性ギャップがo(r)である、システムスケールrに関して非線形であるという、先行のGRAND(aZ)バージョンよりも強い形の漸近的最適性を証明する。

ABSTRACT

A service system with multiple types of arriving customers is considered. There is an infinite number of homogeneous servers. Multiple customers can be placed for simultaneous service into one server, subject to general packing constraints. Each new arriving customer is placed for service immediately, either into an occupied server, as long as packing constraints are not violated, or into an empty server. After service completion, each customer leaves its server and the system. The basic objective is to minimize the number of occupied servers in steady state. We study a Greedy-Random (GRAND) placement (packing) algorithm, introduced in [23]. This is a simple online algorithm, which places each arriving customer uniformly at random into either one of the already occupied servers that can still fit the customer, or one of the so-called zero-servers, which are empty servers designated to be available to new arrivals. In [23], a version of the algorithm, labeled GRAND($aZ$), was considered, where the number of zero servers is $aZ$, with $Z$ being the current total number of customers in the system, and $a>0$ being an algorithm parameter. GRAND($aZ$) was shown in [23] to be asymptotically optimal in the following sense: (a) the steady-state optimality gap grows linearly in the system scale $r$ (the mean total number of customers in service), i.e. as $c(a) r$ for some $c(a)> 0$; and (b) $c(a) o 0$ as $a o 0$. In this paper, we consider the GRAND($Z^p$) algorithm, in which the number of zero-servers is $Z^p$, where $p \in (1-1/(8κ),1)$ is an algorithm parameter, and $(κ-1)$ is the maximum possible number of customers that a server can fit. We prove the asymptotic optimality of GRAND($Z^p$) in the sense that the steady-state optimality gap is $o(r)$, sublinear in the system scale. This is a stronger form of asymptotic optimality than that of GRAND($aZ$).

研究の動機と目的

• 一般の単調なパッキング制約下で、顧客をサーバーに動的パッキングするための簡潔でオンラインなアルゴリズムの設計。
• クラウドリソース割り当てにおいて重要な指標である、定常状態における占有サーバー数の最小化。
• パrameterチューニングをゼロに近づける必要なく、システムスケールrに関して非線形の最適性ギャップを達成することで、先行のGRAND(aZ)アルゴリズムを改善すること。
• a→0のときでさえもギャップが線形に増大するという先行の結果とは異なり、より強い漸近的最適性を確立すること。
• 現在の負荷Z^pの非線形累乗に比例してゼロサーバー数が変化するGRAND(Z^p)アルゴリズムの分析、ここでpは1に近い値をとる。

提案手法

• 到着する顧客を、パッキング制約を満たす場合に限り占有サーバーに、そうでない場合にはZ^p個の指定されたゼロサーバーのいずれかに一様にランダムに割り当てる、グリーディ・ランダムなオンラインアルゴリズムであるGRAND(Z^p)を提案する。
• リャプノフ関数L(x)のドリフトを制御するため、フラッド極限解析に加え、精密な確率的カップリングと人工プロセスの構築を用いる。
• サンプルパスの挙動を解析するため、長さr^{−3s+3+ε}の部分時間間隔を用いた時間離散化スキームを採用する。ここでs > 3/4であり、εは小さい。
• ボレル＝カンテリの補題を適用し、十分に大きなrに対して、元のプロセスと制約違反下で動的特性が凍結された人工プロセスが、高確率で一致することを示す。
• コンact集合上で∑ₖ xₖに一様に収束するリャプノフ関数L(x)を用い、乖離バウンドによる最適性ギャップの制御を可能にする。
• L(x)のドリフトが、システム状態が最適値のo(r)以内に収束することを保証し、非線形最適性ギャップを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のパッキング制約を伴う動的パッキングシステムにおいて、単純なオンラインアルゴリズムが非線形最適性ギャップを達成できるか？
• RQ2 p ∈ (1−1/(8κ), 1)であるGRAND(Z^p)が、a→0に近づける必要がないことによって、GRAND(aZ)よりも強い漸近的最適性を達成するか？
• RQ3 GRAND(Z^p)の最適性ギャップが厳密にo(r)である、すなわちシステムスケールrに関して線形より遅く増大するか？
• RQ4 GRAND(Z^p)の解析をp ∈ (0,1)に拡張できるか、それとも技術的根拠によりpを1に近い値に制限する必要があるか？
• RQ5 元のプロセスと人工プロセスのカップリングは、ゼロサーバーの非線形スケーリング下での収束の証明をどのように可能にするか？

主な発見

• GRAND(Z^p)アルゴリズムは、定常状態における最適性ギャップがo(r)であることを達成し、これはギャップがシステムスケールrに関して線形より遅く増大することを意味する。
• この非線形ギャップは、a→0に近づける必要があるGRAND(aZ)が達成する線形ギャップc(a)rよりも、より強い形の漸近的最適性を示している。
• 証明は、時間離散化と元のプロセスと人工プロセスのカップリングを用いた精密なフラッド極限解析に依存している。
• 十分に大きなrに対して、高確率でシステム状態が最適値のo(r)以内に収束し、漸近的最適性が保証される。
• 条件p > 1−1/(8κ)（ここでκ−1は1サーバーあたりの最大顧客数）が成立する限り、結果は成り立つ。この条件は技術的である可能性が高く、根本的ではない。
• 著者らは、現在の証明ではpが1に近い必要があるが、結果がすべてp ∈ (0,1)に拡張可能であると予想している。