[論文レビュー] A Simple Polynomial Time Algorithm for Max Cut on Laminar Geometric Intersection Graphs

Celina M.H. de Figueiredo, Alexsander A. de Melo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、3次でブリッジレスなグラフからの精密な還元を用いて、区間数4の区間グラフにおけるMaxCut問題のNP完全性を初めて示した。一般の区間グラフと単位区間グラフの間の複雑性ギャップを狭め、長年にわたり未解決であった問題を解決した。

ABSTRACT

In a geometric intersection graph, given a collection of n geometric objects as input, each object corresponds to a vertex and there is an edge between two vertices if and only if the corresponding objects intersect. In this work, we present a somewhat surprising result: a polynomial time algorithm for max cut on laminar geometric intersection graphs. In a laminar geometric intersection graph, if two objects intersect, then one of them will completely lie inside the other. To the best of our knowledge, for max cut this is the first class of (non-trivial) geometric intersection graphs with an exact solution in polynomial time. Our algorithm uses a simple greedy strategy. However, proving its correctness requires non-trivial ideas. Next, we design almost-linear time algorithms (in terms of n) for laminar axis-aligned boxes by combining the properties of laminar objects with vertical ray shooting data structures. Note that the edge-set of the graph is not explicitly given as input; only the n geometric objects are given as input.

研究の動機と目的

• 区間数が有界な区間グラフにおけるMaxCutの分類を通じて、一般の区間グラフと単位区間グラフの間の複雑性ギャップを埋めること。
• 1980年代以降長年未解決であった、区間数4の区間グラフにおけるMaxCutの複雑性問題を解決すること。
• 単位区間グラフ（区間数1）におけるMaxCutの過去の誤った多項式時間解法の主張を改善し、より一般なクラスにおけるNP完全性を示すこと。
• 還元における区間長の種類数を4にまで低減させ、構築モデルにおける異なる区間長の数を5から4に削減すること。
• 区間数が有界な区間グラフの認識問題に貢献すること。これは、これまでの進展が限られていた分野である。

提案手法

• 3次グラフにおけるMaxCutの元のNP完全性還元を、区間数が制御された区間モデルに適合させる。
• ペテルセンの定理を用いて、3次でブリッジレスなグラフを完全マッチングMと2正則部分グラフH（サイクルの disjoint な和集合）に分解する。
• 頂点の順序πVと辺の順序πEを明確に定義し、得られる区間モデルMの構造を制御する。
• 特定のリンク区間を削除することでモデルM′を構築し、残りの区間が高々3種類の異なる長さに割り当てられることを示す。
• 完全モデルMの区間数が4n/3 + 3以下であることを証明し、非ハミルトニアンなグラフの場合に区間数が少なくとも5以上であることを示し、非ハミルトニアンケースにおける下界を4にまで低減する。
• モデルに標準的な構造を強制することで、異なる頂点および辺の順序に対して区間数が不変であることを示し、最終的な構成でic(M) = 4を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間数4の区間グラフにおけるMaxCutはNP完全か？
• RQ2 MaxCutの還元における区間数を定数に抑えられることはあるか？ もしそうなら、その最小の境界は何か？
• RQ3 単位区間グラフ（区間数1）では容易であるにもかかわらず、区間数4の制限下でもMaxCutのNP完全性は維持されるか？
• RQ4 区間数1におけるMaxCutの多項式時間アルゴリズムが存在しないことを、区間数4における困難性を示すことで否定できるか？
• RQ5 MaxCutがNP完全のまま残る最小の区間数は何か？ そして、これは区間モデルの構造とどのように関係するか？

主な発見

• 区間数4の区間グラフに制限したMaxCutはNP完全であり、長年の未解決問題が解決された。
• 構築された区間モデルの区間数は4n/3 + 3以下であり、すべてのモデルに対してic(M) = 4が保証される。
• 入力グラフが非ハミルトニアンである場合、モデルの区間数は少なくとも5以上であることが証明されたが、精密な構成によりこの下界が4にまで低減された。
• 頂点および辺の順序の違いに対しても還元が安定しており、区間数が常に4に保たれることを示した。
• この結果は、4ネスト型区間グラフ（単位区間グラフよりより一般なクラス）に対してもNP完全性を示している。
• 従来の研究に比べ、還元における異なる区間長の数を5から4に削減し、区間数の境界をより厳密にした。