[論文レビュー] A SIS reaction-diffusion-advection model in a low-risk and high-risk domain

Jing Ge, Kwang Ik Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、低リスクおよび高リスク領域を有する不均一な環境における感染症の拡散を研究するため、自由境界を有する空間的SIS反応拡散対流モデルを提案する。時間に依存する基本再生産数 $ R_0^F(t) $ を導入し、感染症の持続が初期条件、拡張能力、対流に依存することを示した。領域が高リスクの場合、感染は普遍的になるまで広がる。低リスクの場合、感染初期サイズと拡張速度に応じて、根絶または持続的拡散が生じる。

ABSTRACT

A simplified SIS reaction-diffusion-advection model is proposed and investigated to understand the impact of spatial heterogeneity of environment and advection on the persistence and eradication of an infectious disease. The free boundary is introduced to model the contact transmission at the spreading front of the disease. The behavior of positive solutions to a reaction-diffusion-advection system are discussed. The basic reproduction number $R_0^F(t)$ associated with the diseases in the spatial setting is introduced for this diffusive SIS model with the free boundary, we prove that fast diffusion, small expanding rate and small initial infected domain are benefit for the control of the spatial spread of the disease. Sufficient conditions for the disease to be eradicated or to spread are also given, our result shows that the disease will spread to the whole area if there exists a $t_0\geq 0$ such that $R_{0}^F(t_0)\geq 1$, that is, if the spreading domain is high-risk at some time, the disease will continue to spread till the whole area is infected; while if $R_{0}^F(0)<1$, the disease may be vanishing or keep spreading depends on the expanding rate and the initial number of the infective individuals. The spreading speeds are also given when spreading happens, and numerical simulations are also given to illustrate the impacts of the advection and the expanding rate on the spreading fronts.

研究の動機と目的

• 空間的不均一性および対流が、空間的に構造化された環境における感染症の持続または根絶に与える影響を理解すること。
• 時間発展する境界 $ g(t) $ と $ h(t) $ を有する自由境界問題を用いて、感染症の拡散フロントをモデル化すること。
• 変化する領域における感染症拡散のダイナミクスを捉える時間に依存する基本再生産数 $ R_0^F(t) $ を定義し、その解析を行うこと。
• 対流および拡張能力が、拡散速度および最終的な感染症の結果を決定する役割を調査すること。
• 初期条件およびモデルパラメータに基づき、感染症の根絶またはエンドミックな拡散のための十分条件を提示すること。

提案手法

• 空間的に変化する感染率 ($ \beta(x) $) および回復率 ($ \gamma(x) $) を有するSIS型感染症伝播の反応拡散対流系を定式化する。
• 感染が領域 $ (g(t), h(t)) $ 上で広がる自由境界問題を導入し、$ g(t) $ および $ h(t) $ がステファン型条件に従って時間発展することを仮定する。
• 2つの重要な基本再生産数を定義する：ディリクレ境界条件を用いた系の $ R_0^{DA} $ と、自由境界系の $ R_0^F(t) $ であり、両者とも変分原理から導出される。
• 比較原理および漸近的解析を用いて、解の長期的挙動および拡散ダイナミクスを研究する。
• 非線形系を変動領域上で解くために、陰的有限差分スキームとニュートン・ラプソン法を用いた数値シミュレーションを実施する。
• 漸近的推定を用いて拡散速度を分析し、$ \lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq k_r^* $ が成り立つことを示した。ここで $ k_r^* $ は対流および拡散パラメータに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期段階で領域が低リスクである場合、どのような条件下で感染症が広がるか、または消滅するか。
• RQ2 対流は、左方向および右方向における拡散フロントの非対称性および速度にどのように影響するか。
• RQ3 初期条件および拡張能力が与えられたとき、感染症がエンドミック化するか、根絶されるかを決定するのは何であるか。
• RQ4 時間に依存する基本再生産数 $ R_0^F(t) $ が、拡散と消滅の間の遷移をどのように支配するか。
• RQ5 感染症フロントの漸近的拡散速度は何か。また、対流および拡散率にどのように依存するか。

主な発見

• ある $ t_0 \geq 0 $ に対して $ R_0^F(t_0) \geq 1 $ が成り立つならば、感染症は持続的かつ無限に広がり、最終的に領域全体が感染する。
• もし $ R_0^F(0) < 1 $ ならば、初期感染人口が十分に小さい場合、または拡張能力 $ \mu $ が小さい場合には、感染症は消滅する。
• 拡散領域が高リスク（すなわち、ある点で $ \beta(x) > \gamma(x) $）である場合、感染症は領域全体が感染するまで広がり続ける。
• 拡散速度は $ \lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq k_r^* $ を満たし、ここで $ k_r^* $ は対流 $ \alpha $、拡散 $ d_I $、反応率に依存する。
• 数値シミュレーションにより、$ \mu $ が大きいと迅速な拡散と安定な正の平衡に至ることが確認された一方、$ \mu $ が小さいと拡張が遅く、感染症が減少することが示された。
• 対流は非対称な拡散を引き起こす：正の $ \alpha $ は右境界の加速を促進し、負の $ \alpha $ は左境界の加速を促進し、それぞれ異なる拡散パターンを生じる。