[論文レビュー] A strictly decreasing invariant for resolution of singularities in dimension two

Vincent Cossart, Bernd Schober|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、境界付き2次元優れたネーター的スキームにおける特異点解消のための厳密に減少する局所的不変量を構成し、Cossart-Jannsen-Saitoのアルゴリズムの終了を証明する。この不変量は、特異点の複雑さ、ヒルベルト＝サミュエルの挙動、およびヒロナカの特徴的多面体の3つの部分から成り、埋め込みに依存せず、その値の下行帰納法により有限終了を保証する。

ABSTRACT

We construct a local invariant for resolution of singularities of 2-dimensional excellent Noetherian schemes with boundary. We prove that the invariant strictly decreases at every step of the algorithm of Cossart, Jannsen and Saito.

研究の動機と目的

• 優れたネーター的スキームに境界をもつ2次元特異点解消のための厳密に減少する不変量を確立すること。
• 不変量が各吹き上げステップで厳密に減少することを示すことにより、Cossart-Jannsen-Saitoのアルゴリズムの終了を証明すること。
• 不変量が周囲の正則スキームの選択に依存しないようにし、特異スキーム固有の内在的性質を保つこと。
• 履歴関数と境界成分を組み込むことで、吹き上げの過程における特異点集合の制御を強化すること。
• 局所的かつ堅牢な構成により、特徴標数0を超えて正標数の設定へも適用可能な特異点不変量の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 特異点の複雑さ、ヒルベルト＝サミュエルの挙動、ヒロナカの特徴的多面体を組み合わせた局所的不変量 $\iota = (\iota_0, \iota_{hs}, \iota_{poly})$ を定義する。
• コhenの構造定理を用いて、正則な周囲スキーム $Z$ を介して非埋め込みケースを埋め込みケースに還元する。
• $\iota$ の成分、特に $\iota_{poly} \in \mathbb{Q}_\infty^4$ が埋め込み $X \subset Z$ に依存しないことを証明する。
• 特異点の吹き上げ過程での制御を可能にするために、履歴関数 $O_X$ を用いて古いか新かの境界成分を区別する。
• 不変量 $\iota(X, \mathcal{B}, x)$ に対する下行帰納法を適用し、悪条件点の有限性とアルゴリズムの終了を証明する。
• 定理0.1および定理1.25を活用し、最大対数ヒルベルト＝サミュエル集合の成分の一般点において $\iota$ が厳密に減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における優れたネーター的スキームに境界をもつ2次元特異点解消に対して、厳密に減少する不変量を構成可能か？
• RQ2 局所的かつ埋め込みに依存しない不変量を用いて、Cossart-Jannsen-Saitoのアルゴリズムの終了をどのように証明できるか？
• RQ3 ヒロナカの特徴的多面体とヒルベルト＝サミュエル関数は、特異点解消過程での特異点の制御にどの程度寄与するか？
• RQ4 履歴関数 $O_X$ は古いか新かの成分を区別し、アルゴリズムの制御を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 埋め込み設定における周囲正則スキーム $Z$ の選択に依存しない、不変量 $\iota$ は真に独立しているか？

主な発見

• 構成された不変量 $\iota = (\iota_0, \iota_{hs}, \iota_{poly})$ は、Cossart-Jannsen-Saitoのアルゴリズムのすべての段階で厳密に減少する。
• $\iota_{poly} \in \mathbb{Q}_\infty^4$ および $\iota_{hs} \in \mathbb{N}^\mathbb{N} \times \mathbb{N}^3 \times \mathbb{Q}_\infty^2$ は $\left(\frac{1}{N} \cdot \mathbb{N}_\infty\right)^6$ に属し、有限の下降を保証する。
• 不変量は埋め込み $X \subset Z$ に依存せず、$Z$ を参照せずに $\iota(X, \mathcal{B}, x)$ と書くことができる。
• 不変量 $\iota$ に対する下行帰納法により、アルゴリズムの終了が証明され、悪条件点は有限個であり、各ステップで値は厳密に減少する。
• 成分の一般点における $\iota$ の値は、吹き上げ後に厳密に減少し、$\iota(X_1, \mathcal{B}_1, \eta_1) < \iota(X, \mathcal{B}, \eta)$ が成り立つ。
• 悪条件点の有限性と $\iota$ の厳密減少性により、孤立した閉点や1次元成分を含むすべての点においてアルゴリズムは終了する。