[論文レビュー] A Stringy Product on Twisted Orbifold K-theory

Alejandro Ádem, Yongbin Ruan+1 more|ArXiv.org|May 18, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、コンpactかつほぼ複素構造を持つ軌道体 $χ$ に対して、$H^4(B\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ から $H^3(B\wedge\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ への逆トランスグレッションを用いて定義される、ねじれ軌道体K理論における結合的ストリング的積を導入する。この構成は、障害 bundle の補正を組み込むことで、ポントリャーギン積およびチエン＝ルアンコhomology積の両方を一般化し、固定点集合における非横断的交わりを解消する幾何的プッシュフォワード公式を介して結合性を保証する。

ABSTRACT

In this paper we define an associative stringy product for the twisted orbifold K-theory of a compact, almost complex orbifold X. This product is defined on the twisted K-theory of the inertia orbifold of X, where the twisting gerbe is assumed to be in the image of the inverse transgression map.

研究の動機と目的

• ねじれ軌道体K理論に、ポントリャーギン積およびチエン＝ルアン積の両方を一般化する結合的積を定義すること。
• 固定点集合における非横断的交わりの問題を、障害 bundle を介した補正によって解決すること。
• ストリング的積構造が $H^3(B\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ ではなく、逆トランスグレッションを介して $H^4(B\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ から生じることを示すこと。
• 軌道体のねじれK理論の文脈において、チエン＝ルアン積のK理論的双対を確立すること。

提案手法

• インertia軌道体 $\wedge\mathcal{X}$ 上でのプルバック $e_1^*, e_2^*$ およびプッシュフォワード $e_{12*}$ を用いてストリング的積を定義し、補正項 $e_K(E_{\mathcal{G}^2})$ を含める。
• 逆トランスグレッション $\theta: H^4(B\mathcal{X}, \mathbb{Z}) \to H^3(B\wedge\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ を用いて、4次元類を3次元類に持ち上げ、ねじれを定義する。
• 非横断的交わりを扱うためにクリーン交差公式を適用し、積の定義可能性を保証する。
• twisting がコ boundary によって異なる場合の twisted K-theory クラス間の標準的同型 $^\gamma K({\mathcal{G}}^2) \cong {}^{e_{12}^*\theta(\phi)}K({\mathcal{G}}^2)$ を用いて、異なるねじれのもとでのK理論クラスの等価性を確立する。
• 群胚 $\mathcal{G}^3$ 上の対合 $I_3$ を用いて三重積の順序を置き換え、K理論写像の不変性を介して結合性を証明する。
• pullbacks, pushforwards, および $I_3^*$ による不変性を用いて、$ (\alpha \star \beta) \star \gamma = \alpha \star (\beta \star \gamma) $ を直接検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれ軌道体K理論に、ポントリャーギン積およびチエン＝ルアン積の両方を一般化する結合的ストリング的積を定義できるか？
• RQ2 ストリング的積構造は $H^4(B\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ に依存するが、$H^3(B\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ に依存するわけではないか？
• RQ3 固定点集合における非横断的交わりをどのように補正すれば、K理論における整合的で well-behaved な積を定義できるか？
• RQ4 $^\tau K_{\text{orb}}(\wedge\mathcal{X})$ 上に、コhomologyにおけるチエン＝ルアン積を模倣する幾何的積構成が可能か？
• RQ5 群胚レベルの構成およびプッシュプル公式を用いて、ストリング的積の結合性を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、コンパクトかつほぼ複素構造を持つ軌道体 $\mathcal{X}$ に対して、逆トランスグレッションの像に属する $\tau$ について、$^\tau K_{\text{orb}}(\wedge\mathcal{X})$ 上に結合的ストリング的積を構成する。
• 積は $\alpha \star \beta = e_{12*}(e_1^*\alpha \cdot e_2^*\beta \cdot e_K(E_{\mathcal{G}^2}))$ として定義され、障害 bundle のK理論クラスによる補正を含む。
• 結合性は、$\mathcal{G}^3$ へのプルバックおよび対合 $I_3$ の適用の下で、$(\alpha \star \beta) \star \gamma$ と $\alpha \star (\beta \star \gamma)$ が同じ式に還元されることを示すことによって証明される。
• 構成は、コ boundary の差によるねじれが異なる twisted K-theory クラス間の標準的同型に依存しており、プッシュフォワードにおける一貫性を保証する。
• 主な洞察は、ねじれクラスが $H^3(B\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ ではなく、$H^4(B\mathcal{X}, \mathbb{Z})$ から逆トランスグレッションによって生じることであり、これによりストリング的積の起源が再定義される。
• この積は、ねじれポントリャーギン積およびチエン＝ルアンコhomology積の両方を一般化し、ストリングコhomology積のK理論的類似を確立する。