[論文レビュー] A structure theorem for generalized-noncontextual ontological models

David Schmid, John H. Selby+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

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ひとこと要約

この論文は、過程理論的枠組みを活用することで、任意の構成的操作的状況における一般化非コンテキストゥアルな実在的モデルの構造定理を確立する。トモグラフィー的局所性のもとでは、このようなモデルは非過剰なフレーム表現に対応しなければならず、それらのオンチック状態の最大数は関連する一般化確率理論（GPT）の次元によって上限づけられる。これにより、非コンテキストゥアル性の定理を導出する強力な制約が得られ、実験的にコンテキストゥアル性を証明可能となる。

ABSTRACT

It is useful to have a criterion for when the predictions of an operational theory should be considered classically explainable. Here we take the criterion to be that the theory admits of a generalized-noncontextual ontological model. Existing works on generalized noncontextuality have focused on experimental scenarios having a simple structure: typically, prepare-measure scenarios. Here, we formally extend the framework of ontological models as well as the principle of generalized noncontextuality to arbitrary compositional scenarios. We leverage a process-theoretic framework to prove that, under some reasonable assumptions, every generalized-noncontextual ontological model of a tomographically local operational theory has a surprisingly rigid and simple mathematical structure -- in short, it corresponds to a frame representation which is not overcomplete. One consequence of this theorem is that the largest number of ontic states possible in any such model is given by the dimension of the associated generalized probabilistic theory. This constraint is useful for generating noncontextuality no-go theorems as well as techniques for experimentally certifying contextuality. Along the way, we extend known results concerning the equivalence of different notions of classicality from prepare-measure scenarios to arbitrary compositional scenarios. Specifically, we prove a correspondence between the following three notions of classical explainability of an operational theory: (i) existence of a noncontextual ontological model for it, (ii) existence of a positive quasiprobability representation for the generalized probabilistic theory it defines, and (iii) existence of an ontological model for the generalized probabilistic theory it defines.

研究の動機と目的

• 準備測定状況にとどまらず、任意の構成的操作的理論へと一般化非コンテキストゥアルの枠組みを拡張すること。
• 構成的理論における過程理論的枠組みを用いて、実在的モデルおよび一般化非コンテキストゥアル性を形式化すること。
• 妥当な物理的仮定のもとで、一般化非コンテキストゥアルな実在的モデルの厳密な数学的構造を確立すること。
• このようなモデルにおけるオンチック状態の数が、関連するGPTの次元によって上限づけられることを示すこと。
• あらゆる構成的状況において、非コンテキストゥアルな実在的モデル、正の準確率表現、単体的GPTへの埋め込みという異なる古典的性質の概念を統一すること。

提案手法

• 過程理論的アプローチを用いて、操作的理論およびその商理論を一般化確率理論（GPT）として形式化すること。
• 理論の構成的構造と整合性を持つように保証するための中心的技術的道具として、図式を保存する準確率的モデルを導入すること。
• 図式を保存する準確率的モデルが、過剰でない正確なフレーム表現と等価であることを証明すること。
• 任意のトモグラフィー的局所的GPTの一般化非コンテキストゥアルな実在的モデルが、非過剰なフレーム表現と同型であることを示す構造定理を導出すること。
• 表現写像の単射性を用いて、オンチック状態空間の次元をGPTの次元によって上限づけること。
• カテゴリカルな再定式化を確立することで、準備測定から任意の構成的状況への結果の一般化を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の構成的操作的状況における一般化非コンテキストゥアルな実在的モデルの数学的構造は何か？
• RQ2 このようなモデルにおいて、オンチック状態空間の次元は、それらの背後にあるGPTの次元とどのように関係するか？
• RQ3 非コンテキストゥアルな実在的モデル、正の準確率表現、単体的GPTへの埋め込みという概念は、一般の構成的状況において等価であるか？
• RQ4 トモグラフィー的局所性は、非コンテキストゥアルモデルの構造を制約するために果たす役割は何か？
• RQ5 図式の保存は、オンチック分離性や他の望ましい性質を保証する十分条件として用いることができるか？

主な発見

• 任意のトモグラフィー的局所的操作的理論の一般化非コンテキストゥアルな実在的モデルにおけるオンチック状態の最大数は、関連するGPTの次元によって上限づけられる。
• 任意のトモグラフィー的局所的GPTの一般化非コンテキストゥアルな実在的モデルは、非過剰なフレーム表現に対応する。
• 図式を保存する準確率的モデルは数学的に正確なフレーム表現と等価であり、このようなモデルの標準形を提供する。
• 非コンテキストゥアルな実在的モデルの存在、正の準確率表現、単体的GPTへの埋め込みという3つの概念は、あらゆる構成的状況において等価な古典的性質を表す。
• 構造定理により、ハーディーのオンチック余分な荷物定理に基づくコンテキストゥアル性の新たな証明が可能となり、ノイズに強い非コンテキストゥアル性不等式の導出も容易になる。
• この枠組みは、量子基礎の分野への応用を支援し、例えば状態インジェクションモデルにおける量子計算におけるコンテキストゥアル性をリソースとして扱う証明の簡略化を可能にする。