[論文レビュー] A subexponential-time algorithm for the quantum separability problem

Fernando G. S. L. Brandão, Matthias Christandl+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、量子分離状態の弱メンバーシップ問題に対して、対称拡張の探索に半定値計画法を用い、量子もつれの単一性に関する改善された de Finetti 型の境界を活用することで、準多項式時間のアルゴリズムを提示する。主な結果は、ユークリッド距離または LOCC 距離で ε 離れの状態と分離状態を区別するための実行時間 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|)) であり、量子計算複雑性や平均場ハミルトニアンに応用がある。

ABSTRACT

We present a quasipolynomial-time algorithm for solving the weak membership problem for the convex set of separable, i.e. non-entangled, bipartite density matrices. The algorithm decides whether a density matrix is separable or whether it is eps-away from the set of the separable states in time exp(O(eps^-2 log |A| log |B|)), where |A| and |B| are the local dimensions, and the distance is measured with either the Euclidean norm, or with the so-called LOCC norm. The latter is an operationally motivated norm giving the optimal probability of distinguishing two bipartite quantum states, each shared by two parties, using any protocol formed by quantum local operations and classical communication (LOCC) between the parties. We also obtain improved algorithms for optimizing over the set of separable states and for computing the ground-state energy of mean-field Hamiltonians. The techniques we develop are also applied to quantum Merlin-Arthur games, where we show that multiple provers are not more powerful than a single prover when the verifier is restricted to LOCC protocols, or when the verification procedure is formed by a measurement of small Euclidean norm. This answers a question posed by Aaronson et al (Theory of Computing 5, 1, 2009) and provides two new characterizations of the complexity class QMA, a quantum analog of NP. Our algorithm uses semidefinite programming to search for a symmetric extension, as first proposed by Doherty, Parrilo and Spedialieri (Phys. Rev. A, 69, 022308, 2004). The bound on the runtime follows from an improved de Finetti-type bound quantifying the monogamy of quantum entanglement, proved in (arXiv:1010.1750). This result, in turn, follows from a new lower bound on the quantum conditional mutual information and the entanglement measure squashed entanglement.

研究の動機と目的

• 与えられた双粒子量子状態が分離状態であるか、または分離状態の集合からユークリッド距離または LOCC 距離で ε 離れているかを効率的に判定するアルゴリズムの開発。
• 平均場ハミルトニアンにおける分離状態の最適化および基底状態エネルギーの計算のための実行時間の上限の改善。
• LOCC 測定または小規模なノルム測定に制限された検証の下で、複数のプローバーが量子メルリン＝アーサーゲームにおいてどの程度のパワーを持つのかという問題の解決。
• LOCC および小規模なノルム検証プロトコルを用いた、量子計算複雑性クラス QMA の新しい特徴づけの確立。

提案手法

• アルゴリズムは、Doherty, Parrilo, および Spedialieri が当初提唱した方法に従い、与えられた密度行列の対称拡張を探索するための半定値計画法を用いる。
• 量子もつれの単一性を定量化する改善された de Finetti 型の境界に依存しており、これは量子条件付き相互情報量の新しい下界から導出される。
• 実行時間は exp(O(ε⁻² log |A| log |B|)) で抑えられ、|A| および |B| は局所次元、ε は分離状態集合からの距離を表す。
• 距離はユークリッドノルムまたは LOCC ノルムで測定され、後者は局所操作と古典的通信を用いた状態の最適区別可能性を捉える。
• 解析は arXiv:1010.1750 に示された結果に基づいており、そこでは「引きちぎられたもつれ」の強化された境界とその運用的意義が提供されている。
• この手法は、複数のプローバーが LOCC または小規模なノルム測定に制限された検証に従う場合、QMA のパワーを向上させないことを示すように拡張された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離状態の弱メンバーシップ問題は、誤差許容度 ε および局所次元に最適な依存関係を有する準多項式時間で解けるか。
• RQ2 半定値計画法による対称拡張の使用は、量子分離状態のための従来の手法と比較して実行時間の改善をもたらすか。
• RQ3 検証が LOCC プロトコルまたは小規模なノルム測定に制限された場合、複数の量子プローバーは単一のプローバーよりも強力か。
• RQ4 よりタイトな de Finetti 型の境界によってもつれの単一性を定量化し、アルゴリズムの効率を向上させられるか。
• RQ5 LOCC または小規模なノルム測定に制限された検証から、QMA 複雑性クラスにどのような新しい特徴づけが得られるか。

主な発見

• アルゴリズムは、分離状態の弱メンバーシップ問題を時間 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|)) で解くことができ、指数時間法に比べて顕著な改善を示す。
• 実行時間の上限は、ユークリッドノルムおよび LOCC ノルムの両方で成り立つ。後者は状態の区別可能性を操作的に意味する。
• 量子条件付き相互情報量の新しい下界から導出された改善された de Finetti 型の境界が、実行時間の保証の根幹をなす。
• この結果は、検証が LOCC または小規模なノルム測定に制限された場合、複数のプローバーが単一のプローバーを上回るパワーを持たないことを示唆する。
• このフレームワークは、QMA を再特徴づけ、クラスが LOCC または小規模なノルム検証プロトコルの下でも変わらないことを示している。
• この手法により、分離状態の最適化および平均場ハミルトニアンの基底状態エネルギーの計算のための改善されたアルゴリズムが可能になった。