[論文レビュー] A Supermanifold structure on Spaces of Morphisms between Supermanifolds

F. Hanisch|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、MolotkovおよびSachseの枠組みに基づく関手的アプローチを用いて、有限次元の超多様体間の滑らかな準同型の空間にスーパーマニフォールド構造を構成する。準同型を関連するベクトルバンドルのセクションと同一視し、KrieglおよびMichorの便利な微積分法を用いてそれらに無限次元多様体構造を導入することで、補助的選択（例：接続）に依存しない、$υυ\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ 上のスーパ Smooth 構造を確立する。

ABSTRACT

The aim of this work is the construction of a "supermanifold of morphisms $X ightarrow Y$", given two finite-dimensional supermanifolds $X$ and $Y$. More precisely, we will define an object $\underline{SC}^\infty(X,Y)$ in the category of supermanifolds proposed by Molotkov and Sachse. Initially, it is given by the set-valued functor characterised by the adjunction formula $\mathrm{Hom}(P imes X,Y) \cong \mathrm{Hom}(P,\underline{SC}^\infty(X,Y))$ where $P$ ranges over all superpoints. We determine the structure of this functor in purely geometric terms: We show that it takes values in the set of certain differential operators and establish a bijective correspondence to the set of sections in certain vector bundles associated to $X$ and $Y$. Equipping these spaces of sections with infinite-dimensional manifold structures using the convenient setting by Kriegl and Michor, we obtain at a supersmooth structure on $\underline{SC}^\infty(X,Y)$, i.e. a supermanifold of all morphisms $X ightarrow Y$.

研究の動機と目的

• 有限次元の超多様体 $X$ と $Y$ の間の滑らかな準同型の空間 $X \to Y$ に、明確に定義された超多様体構造を構成すること。
• 関手 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ を、随伴公式によって定義されたものとして、ベクトルバンドルのセクションの観点から幾何学的に実現すること。
• KrieglおよびMichorの便利な微積分法を用いて、写像超多様体にスーパ Smooth アトラスを確立すること。
• 得られる超多様体構造が、関連バンドル上の接続などの補助的幾何的選択に依存しないことを示すこと。

提案手法

• 超点 $P$ に対して $\mathrm{Hom}(P \times X, Y) \cong \mathrm{Hom}(P, \underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y))$ を満たす関手的随伴を用いて、写像超多様体 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ を定義する。
• 微分作用素と超代数的構造を用いて、この関手の値を $X$ 上の特定のベクトルバンドルのセクションと幾何学的に同一視する。
• KrieglおよびMichorの便利な微積分法の枠組みを用いて、セクションの空間に無限次元多様体構造を導入し、$X$ が非コンパクトであっても滑らかさを保証する。
• $\Lambda_n^{\mathrm{ev}}$-線形性と座標代表のスーパ Smooth 性を確認することで、スーパ Smooth アトラスを構成する。
• 異なる接続を用いた異なる幾何的実現が、明示的なスーパーディフェオモールフィズムによって同型であることを示す。
• 微分同相写像と超代数同型の合成による準同型の分解を用いて、座標遷移の構造を解析し、スーパ Smooth 性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の超多様体間の滑らかな準同型の空間に、明確に定義された超多様体構造を構成できるか？
• RQ2 随伴によって定義された関手 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ は、微分作用素とベクトルバンドルのセクションの観点からどのように幾何学的に実現できるか？
• RQ3 得られる超多様体構造は、関連バンドル上の接続などの補助的選択に依存するか？
• RQ4 便利な微積分法の枠組みを用いて、無限次元の準同型空間にスーパ Smooth 構造を導入できるか？
• RQ5 写像超多様体の異なる幾何的実現は、自然に同型であるか？

主な発見

• 準同型 $X \to Y$ の空間は、関手的随伴を介して超多様体 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ として実現され、その値は $X$ 上の特定のベクトルバンドルのセクションとして同定される。
• $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ の値は、$X$ および $Y$ に関連するバンドルのセクションによって双対的にパrameter化され、準同型の幾何的解釈が得られる。
• KrieglおよびMichorの便利な微積分法を用いて、これらのセクションの空間に無限次元多様体構造を導入し、写像超多様体にスーパ Smooth 構造を確立する。
• バンドル $F$ 上の接続の選択に依存しないことが、異なる接続を用いた実現間のスーパーディフェオモールフィズムを構成することで示された。
• 座標チャート間の遷移写像はスーパ Smooth であり、$\Lambda_n^{\mathrm{ev}}$-線形性の確認と、以前の補題からの計算の適応によって検証された。
• 任意の二つの $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ の実現間には、自然なスーパーディフェオモールフィズムが存在し、超多様体構造が補助的データに依存しないことが証明された。