[論文レビュー] Global Analytic Approach to Super Teichmueller Spaces

Christoph Sachse|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、超幾何学における圏論的およびホモロジー論的技法を用いて、$π$-超リーマン面に$π$-構造を備えた超テイヒミュラー空間のグローバルな解析的枠組みを構築する。超テイヒミュラー空間 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ を、スピン曲線とその奇数的変形をパラメータ化する半普遍族として構成し、次元が $3g-3|2g-2$ であることを示す。奇数的方向はスピン bundle の類の剛性によって制約されている。

ABSTRACT

In this thesis we investigate a new formalism for supergeometry which focuses on the categorical properties of the theory. This approach is our main tool in the subsequent investigation of a global analytic approach to the construction of super Teichmueller spaces. These results should be of importance to various other fields, in particular, superstring theory and superconformal field theory. This new approach, which was actually first proposed by Molotkov and Schwarz and Voronov already in the mid-80s, is based on a consequent use of the functor of points. Apart from clarifying various issues of supergeometry which sometimes remain obscure in the standard (ringed-space) approach, its main achievement is that it makes infinite-dimensional supermanifolds available. We use this to define the supermanifold of all almost complex structures on a given finite-dimensional supermanifold and show that it actually carries a complex structure itself. Moreover we succeed in giving an explicit definition and construction of the diffeomorphism supergroup of a finite-dimensional supermanifold. We then combine these results to show that one can construct a slice for the action of the diffeomorphism supergroup on the subspace of integrable almost complex structures on a smooth closed oriented 2|2-dimensional supersurface. This slice represents a local patch of super Teichmueller space. We also investigate how this construction changes if one instead looks at N=1 superconformal structures on such a surface and show that one obtains an analogous result.

研究の動機と目的

• 超幾何学における圏論的およびホモロジー論的道具を用いて、超テイヒミュラー空間のグローバルな解析的アプローチを構築すること。
• スピン構造を備えた$π$-超リーマン面の半普遍族として、超テイヒミュラー空間 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g,d}$ を構成すること。
• 古典的テイヒミュラー空間と比較して、超テイヒミュラー空間に $2g-2$ 個の欠落した奇数的方向が存在する理由を、幾何学的およびコhomology的根源から明らかにすること。
• ヤコビアン多様体およびスピン bundle の除数類が、超等角構造の変形を制約する役割を果たす仕組みを解釈すること。

提案手法

• 超多様体の圏におけるポイント関手のアプローチを採用し、表現可能な関手とヨナダ埋め込みを用いて、超幾何的対象を圏論的に定義する。
• 元の多様体 $Ω$ とホッジ bundle の部分バンドル $π^\prime$ を用いて、より大きな超テイヒミュラー空間 $τ_{\mathfrak{vect}^L(1|1)}^{g,g-1}$ の閉部分超多様体として超多様体 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ を構成する。
• 超リーマン面上の $π$-ベクトル場の層 $π^L(1|1)$ にČechコhomologyを適用し、$H^1(M, π^L(1|1))$ を $H^0(M,K^2) \oplus \Pi(H^0(M,K^{3/2}))$ に分解する。
• $Λ_1$-点における変形関手の接空間を用いて、無限小的超等角構造とその障害を分析する。
• ベレジン＝ライツ理論および超等角代数 $π^L(1|1)$ を用いて、関連する超微分構造を定義する。
• パリティの変換関手 $\overline{\Pi}$ を適用し、超多様体の圏における内部Hom関手を構成することで、自己同型群および群作用を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン構造を備えた$π$-超リーマン面の超テイヒミュラー空間のグローバルな解析的構造は何か？
• RQ2 古典的テイヒミュラー空間と比較して、超テイヒミュラー空間に $2g-2$ 個の奇数的方向が欠落しているのはなぜか？
• RQ3 $H^0(M,K^2)$ と $H^0(M,K^{3/2})$ のコホモロジー群は、超テイヒミュラー空間の次元および構造にどのように寄与するか？
• RQ4 ヤコビアン多様体およびスピン bundle の除数類は、超等角構造の変形を制約する役割を果たすか？
• RQ5 圏論的枠組みにおいて、$π$-超リーマン面の族の半普遍性はどのように実現されるか？

主な発見

• 超テイヒミュラー空間 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ の次元は $3g-3|2g-2$ であり、偶数部分は古典的テイヒミュラー空間に対応し、奇数部分は真の超変形をパラメータ化する。
• $2g-2$ 個の欠落した奇数的方向は、スピン bundle の同型類の剛性に起因し、線形 bundle $L$ の変形が不可能であるため生じる。
• 最初のČechコホモロジー群 $H^1(M, π^L(1|1))$ は $H^0(M,K^2) \oplus \Pi(H^0(M,K^{3/2}))$ に分解され、これが直接的に超テイヒミュラー空間の奇数次元を決定する。
• 超テイヒミュラー空間 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ は、$τ_{\mathfrak{vect}^L(1|1)}^{g,g-1}$ の閉部分超多様体であり、スピン bundle 構造を保存する変形のみをパラメータ化する。
• $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ がパラメータ化する $π$-超リーマン面の族は、[Vai88a] および [LR88] の先行研究により、半普遍であることが示されている。
• $\mathcal{T}_g$ への $J(V_g) \to \mathcal{T}_g$ の $2^{2g}$ 個の正則切断の集合 $Ω$ は、スピン bundle の除数に対応し、通常のテイヒミュラー空間 $\mathcal{T}_g$ の $2^{2g}$ 枚の被覆として自明な被覆をなす。