[論文レビュー] Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Oct 8, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 72被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可換、可換な可換、非可換環の上で、接続、微分作用素、微積分を代数的に定式化することにより、微分幾何学を加群や環へ一般化する。環𝒜 = C∞(X)のとき、𝒜上のChevalley–Eilenberg複体はde Rham形式と同型な微分計算を導くことが確立され、この枠組みは非可換幾何学および超幾何学へ拡張され、量子理論および場の理論における幾何的構造の統一的代数的基盤を提供する。

ABSTRACT

Generalizing differential geometry of smooth vector bundles formulated in algebraic terms of the ring of smooth functions, its derivations and the Koszul connection, one can define differential operators, differential calculus and connections on modules over arbitrary commutative, graded commutative and noncommutative rings. For instance, this is the case of quantum theory, SUSY theory and noncommutative geometry, respectively. The relevant material on this subject is summarized.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体およびベクトルバンドルの微分幾何学を、滑らかな関数の環のみを用いた完全な代数的表現に再定式化すること。
• 任意の可換、可換な可換、非可換環上の加群へ微分計算および接続を一般化すること。
• 量子力学、超対称性、非可換幾何学における幾何的構造の統一的代数的枠組みを提供すること。
• Chevalley–Eilenberg複体を環上の微分計算として確立し、滑らかな場合にde Rhamコホモロジーを回復すること。
• 微分作用素および接続を非可換性を考慮して代数的に定義することにより、非可換幾何学における基礎的問題を解決すること。

提案手法

• Serre–Swanの定理を用いて、C∞(X)上の有限生成射影加群を滑らかなベクトルバンドルの切断と同一視する。
• jet加群𝒥sPを用いて、𝒜-加群間の𝒦-線形微分作用素を代数的に一般化し、高階微分作用素を一般化する。
• 導分τ ∈ d𝒜に対して、Leibniz則を満たす𝒦-線形写像∇τ: P → Pとして、𝒜-加群上の接続を定義する。
• d𝒜から𝒜への多重線形準同型のChevalley–Eilenberg複体を導入し、微分 graded 代数としてのChevalley–Eilenberg微分計算を構成する。
• 非可換環へ計算を適用する際、微分形式を𝒪*(d𝒜, d)の元として定義し、de Rham理論を一般化する。
• flabbyおよびfineな層の分解を用いて、層コホモロジーを代数的に定義し、適切な写像のもとでコホモロジー群の同型および正規性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなベクトルバンドルの微分幾何学は、C∞(X)の環およびその導分のみを用いて完全に再構成可能か？
• RQ2 可換環上の加群における接続の概念は、非可換環へ一般化可能であり、Leibniz則を保つことができるか？
• RQ3 非可換幾何学における微分形式の背後にある代数的構造は何か？ また、de Rham複体とはどのように関係するか？
• RQ4 jet加群およびChevalley–Eilenberg複体は、非可換設定における高階微分作用素の整合的枠組みをどのように提供するか？
• RQ5 パラコンパクト空間において、層の標準的flabby分解が、標準的層コホモロジーと同型なコホモロジーをもたらす条件は何か？

主な発見

• C∞(X)上のChevalley–Eilenberg微分計算は、滑らかな多様体X上の標準的なde Rham複体の微分形式を回復する。
• 𝒜-加群上の接続は、導分τ ∈ d𝒜を用いた代数的定義により、ベクトルバンドル上の線形接続を一般化する。
• jet加群𝒥¹Pは、𝒜-加群上の1階微分作用素の普遍的構成を提供する。
• パラコンパクト空間Xに対して、層Sのコホモロジーは、その標準的flabby分解の切断の複体のコホモロジーと一致する。
• パラコンパクト空間上のfineな層は正規であり、partition of unityから構成されるホモトピー作用素を用いてコホモロジーを計算可能である。
• 標準的flabby分解 0 → S → S₀^F → S₁^F → ⋯ は、任意のパラコンパクト空間上で層コホモロジーの普遍的分解を提供する。