[論文レビュー] A survey of characteristic classes of singular spaces

Joerg Schuermann, Shoji Yokura|ArXiv.org|Nov 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 62被引用数 11

ひとこと要約

この論文は特異代数的空間の特性類を調査し、チャーン、トッド、L-類を一般化する統一的な「モチビック」枠組みを導入する。関手的双変理論、プロ代数的多様体のためのモチビック測度、楕円関数とE-関数の間を補間するストリングィ/アーク特性類を確立し、弱因子分解を用いた解体の選択に依存しないという主要な結果を示す。

ABSTRACT

A theory of characteristic classes of vector bundles and smooth manifolds plays an important role in the theory of smooth manifolds. An investigation of reasonable notions of characteristic classes of singular spaces started since a systematic study of singular spaces such as singular algebraic varieties. We make a quick survey of characteristic classes of singular varieties, mainly focusing on the functorial aspects of some important ones such as the singular versions of the Chern class, the Todd class and the Thom--Hirzebruch's L-class. Then we explain our recent "motivic" characteristic classes, which in a sense unify these three different theories of characteristic classes. We also discuss bivariant versions of them and characteristic classes of proalgebraic varieties, which are related to the motivic measures/integrations. Finally we explain some recent work on "stringy" versions of these theories, together with some references for "equivariant" counterparts.

研究の動機と目的

• 特異空間における特性類（チャーン、トッド、L）を1つのモチビック枠組みに統一すること。
• 特異多様体に対する特性類の双変版を開発すること。
• モチビス統合を用いて、特異多様体の特性類をプロ代数的多様体へ拡張すること。
• 楕円関数とE-関数の間を補間するストリングィおよびアーク特性類を導入すること。
• 弱因子分解を用いた特異点の解体における関手的および不変性を確立すること。

提案手法

• 可 constructible ファイバー層のグロテンディーク群からホモロジーへの自然変換としてモチビック特性類を定義する。
• 弱因子分解定理を用いて、モチビック類の解体の選択に依存しないことを証明する。
• パrameter y におけるヒルツェブルーフ型の生成関数の極限としてストリングィおよびアーク特性類を構成する。
• 双変理論を用いて、特異空間間の写像への特性類の一般化を行う。
• モチビス統合とE多項式を用いて、プロ代数的多様体の不変量を定義する。
• y = -1 に特化することでストリングィチャーン類を回復し、y = 0 に特化することでトッドおよびモチビック類を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異空間において、チャーン、トッド、L-類を関手的に統一する方法は何か？
• RQ2 特異多様体に対して、特性類のどの双変一般化が存在するか？
• RQ3 ストリングィおよびアーク特性類は、楕円コホモロジーとE-関数の間でどのように関係するか？
• RQ4 モチビス統合を用いて、プロ代数的多様体のためのモチビック特性類を定義できるか？
• RQ5 特異多様体の解体の選択に依存しないモチビック類は存在するか？

主な発見

• モチビック特性類の構成により、チャーン、トッド、L-類が1つの関手的枠組みに統一される。
• ストリングィヒルツェブルーフ類は、楕円類とストリングィE-関数の間を補間し、y = -1 および y → 0 での極限が存在する。
• ストリングィヒルツェブルーフ類の極限 y → -1 は、既知の定義に一致するストリングィチャーン類を回復する。
• モチビック類の極限 y → 0 は、π_*([O_M]) および π_*(Td^*(TM) ∩ [M]) を与え、両者とも解体 π に依存しない。
• アーク特性類は、lim_{y→-1} T^{arc}_{y*}(X) = c^{arc}_*(X) を満たし、これはペア (X, -D) のチャーン類である。
• π_*([O_M]) および π_*(Td^*(TM) ∩ [M]) は弱因子分解定理により、解体 π に依存しない。