[論文レビュー] A survey on the generalized connectivity of graphs

Xueliang Li, Yaping Mao|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2012

Interconnection Networks and Systems参考文献 97被引用数 19

ひとこと要約

本調査は、グラフにおける一般化接続性および一般化辺接続性について包括的な概説を提供し、古典的接続性の自然な拡張として、$\kappa_k(G)$ および $\lambda_k(G)$ の概念を導入する。任意の $k$ 頂点部分集合に対して $\ell$ 東方辺素なスティーナー木をサポートする $n$ 頂点のグラフにおける最小辺数の正確な値 $f(n,k,\ell) = (k-1)\ell + n - k$ を確立し、すべての極値グラフが初期のスターベースのグラフを出発点として、3つの特定の操作を用いて構成可能であることを証明する。

ABSTRACT

The generalized $k$-connectivity $κ_k(G)$ of a graph $G$ was introduced by Hager before 1985. As its a natural counterpart, we introduced the concept of generalized edge-connectivity $λ_k(G)$, recently. In this paper we summarize the known results on the generalized connectivity and generalized edge-connectivity. After an introductory section, the paper is then divided into nine sections: the generalized (edge-)connectivity of some graph classes, algorithms and computational complexity, sharp bounds of $κ_k(G)$ and $λ_k(G)$, graphs with large generalized (edge-)connectivity, Nordhaus-Gaddum-type results, graph operations, extremal problems, and some results for random graphs and multigraphs. It also contains some conjectures and open problems for further studies.

研究の動機と目的

• 一般化接続性 $\kappa_k(G)$ および一般化辺接続性 $\lambda_k(G)$ に関する既知の結果を体系的かつ要約し、古典的接続性概念を拡張すること。
• 実用的なネットワーク設計のニーズに応えるために、与えられた $k$ 頂点部分集合に対して $\ell$ 東方辺素なスティーナー木を保証するための最小辺数を同定すること。
• $k$ 頂点部分集合に対して理論的下界を達成する $(k,\ell)$-最小接続グラフの構造を特徴づけること。
• 一般化接続性分野における未解決問題および予想をまとめることで、今後の研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 一般化 $k$-接続性 $\kappa_k(G)$ を、$k$ 個の成分以下または $k$ 個未満の頂点を残すように頂点を削除する最小の頂点数として定義する。
• 辺削除に関して同様に一般化辺接続性 $\lambda_k(G)$ を定義し、削除後に少なくとも $k$ 個の成分が残ることを保証する。
• $f(n,k,\ell)$ を、ある $k$ 頂点部分集合 $S$ に対して $\ell$ 東方辺素な $S$-スティーナー木を含む、位数 $n$ の連結グラフにおける最小辺数として提案する。
• $k$-部分集合 $S$ に対して $\ell$ 東方辺素な $K_{1,k-1}$ 樹を形成するように、スターモデル $K_{1,k-1}$ の各辺を $\ell$ 個の平行辺に置き換えた $(k,\ell)$-初期グラフを定義する。
• すべての極値グラフを生成するための3つのグラフ操作（操作 I：サイクル生成と辺削除、操作 II：1つの隣接頂点を持つ頂点の分割、操作 III：2つの隣接頂点を持つ頂点の分割）を定義する。
• 任意の $(k,\ell)$-最小接続グラフが、これらの3つの操作の系列を用いて初期グラフから構成可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数 $n$ の連結グラフで、任意の $k$ 頂点部分集合に対して $\ell$ 東方辺素なスティーナー木を保証するための最小辺数は何か？
• RQ2 $\ell$ 東方辺素なスティーナー木に対して理論的下界を達成するグラフ構造は何か？
• RQ3 すべてのこのような極値グラフを、基本構造から体系的に生成する方法は何か？
• RQ4 一般化接続性および辺接続性に関連する鋭い上限と計算複雑性は何か？
• RQ5 さまざまなグラフクラスにおいて、一般化接続性に関して、ノードハス・ガッダム型不等式および極値結果は成立するか？

主な発見

• $3 \leq k \leq n$ の場合、最小辺数の正確な値は $f(n,k,\ell) = (k-1)\ell + n - k$ である。
• すべての $(k,\ell)$-最小接続グラフは、$(k,\ell)$-初期グラフを出発点として、操作 I、II、III の系列を用いて構成可能である。
• $(k,\ell)$-初期グラフは、中心頂点が $k-1$ 個のリーフに $\ell$ 個の平行辺で接続されており、$\ell$ 個の東方辺素なスターツリーを形成する。
• 操作 I は、木に辺を追加してサイクルを生成し、その後別の辺を削除して木構造を維持する変更を施す。
• 操作 II は頂点を2つに分割し、接続性を保ちつつ構造の微調整を可能にし、$S$-ツリー性を維持する。
• 操作 III は同様の頂点分割を実行するが、2つの新規頂点を接続するため、より複雑なグラフ変換を可能にする。