[論文レビュー] A theory of dormant opers on pointed stable curves -- a proof of Joshi's conjecture

Yasuhiro Wakabayashi|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、正標数における点付き安定曲線上の特殊な接続（ドンゼット・オペル）の包括的理論を確立し、主バンドル、対数接続、モジュライ空間を統合する。Gromov-Witten不変量を用いたQuotスキームの研究を通じて、ジェイソウの予想を証明し、$p$-進テイヒミュラー理論と特徴的 $p$ における数え上げ幾何学との深い関係を明らかにする。主な結果は、単位根の和で表される明示的公式であり、これはVafa-Intriligator型不変量と関連している。

ABSTRACT

This manuscript presents a detailed and original account of the theory of opers defined on pointed stable curves in arbitrary characteristic and their moduli. In particular, it includes the development of the study of dormant opers, which are opers of a certain sort in positive characteristic. The theory of dormant opers (or more generally, opers in positive characteristic) on pointed stable curves, which has proved to be rather rich and deep, was born in the work of S. Mochizuki, who developed the theory for $\mathfrak{sl}_2$-opers and used it to establish $p$-adic Teichmüller theory. Some parts of Mochizuki's work were later extended in the case of proper smooth curves by K. Joshi, C. Pauly, and other mathematicians. This manuscript represents an advance in the theory of opers that takes the subject beyond the work of Mochizuki, Joshi, and Pauly. In particular, we provide general unified formulations and the basics of principal bundles and connections defined on families of pointed stable curves. The notion of an oper is accordingly introduced in the context of logarithmic algebraic geometry. Some of the results can be regarded as generalizations of results obtained in the fundamental work on the geometric Langlands program developed by A. Beilinson and V. Drinfeld. We also describe various properties and assertions about (dormant) opers, such as duality, comparison with differential operators, and compactification of the moduli space. Our goal is to give an explicit formula, conjectured by Joshi, for the generic number of dormant $\mathfrak{sl}_n$-opers. We do so by obtaining a detailed understanding of the moduli space of dormant opers and computing the Gromov-Witten invariants for Quot-schemes in characteristic zero. This formula reveals an interaction between studies in $p$-adic Teichmüller theory and certain areas of mathematics, including Gromov-Witten theory.

研究の動機と目的

• 任意の標数における点付き安定曲線上のオペル、特にドンゼット・オペルの統一的理論を構築すること。
• モチヅキおよびジョシュ-パウリの$p$-進テイヒミュラー理論の研究を、高ランクのリー代数および任意の点付き安定曲線に一般化すること。
• 標数$p$における一般の genus $g$ の曲線上のドンゼット$\mathrm{sl}_n$-オペルの一般的個数を、ジョシュの予想に従って計算すること。
• ドンゼット・オペルのモジュライ空間と、特徴的ゼロにおけるQuotスキームのGromov-Witten不変量との明確な関係を確立すること。
• 正標数におけるオペルの融合則と双対構造の幾何学的・代数的基盤を提供すること。

提案手法

• 点付き安定曲線の族上の対数的代数幾何学と$\hbar$-平坦接続を用いたオペルの形式的定式化。
• $(g, \hbar)$-オペルの概念を導入し、Hitchin-Mochizuki写像と$p$-曲率消滅条件を用いてそのモジュライを構成する。
• 特徴的ゼロにおけるQuotスキームの理論を用い、ドンゼット・オペルのモジュライ空間の次数を支配するGromov-Witten不変量を計算する。
• 変形理論とコホホロジー的技法を用いて、ドンゼット・オペルの無限小変形を解析し、モジュライスタックの一般的エタール性を証明する。
• 擬似融合環構成を用いて、直交的およびシミプレクティックリー代数のオペル間の双対性を確立する。
• Vafa-Intriligatorの公式を活用し、単位根とベルヌーイ数を含む留数計算に帰着することで、数え上げ問題を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標数$p$における一般の点付き安定曲線（genus $g$）上に存在するドンゼット$\mathrm{sl}_n$-オペルの一般的個数は何か？
• RQ2 ドンゼット・オペルのモジュライ空間は、特徴的ゼロにおけるQuotスキームのGromov-Witten不変量とどのように関係しているか？
• RQ3 ドンゼット・オペルのモジュライスタックの幾何学的・代数的構造は何か？また、曲線のモジュライ空間上では一般にエタール的か？
• RQ4 正標数におけるオペルの双対性と融合則は、特に古典的リー代数においてどのように現れるか？
• RQ5 Vafa-Intriligatorの公式は、留数的技法を用いて、ドンゼット・オペルのモジュライ空間の次数を計算するために適応可能か？

主な発見

• 一般の genus $g$ の曲線上のドンゼット$\mathrm{sl}_n$-オペルの一般的個数は、$p$-乗根の$n$-重組合せ（すべて異なる）の和として与えられ、$p^{(n-1)(g-1)-1}/n!$ に単位根に関する対称的有理関数を乗じたものに等しい。
• $n=3$ の場合、$d_{3,g} = \deg(\mathcal{M}_{\mathrm{dorm}, \mathrm{sl}_3}^g)$ は $p$ についての $2g-2$ 次多項式であり、$g=6$ まで明示的に計算されている。
• ドンゼット$\mathrm{sl}_n$-オペルのモジュライ空間の次数の公式は、特徴的ゼロにおける$\mathrm{Quot}_{n,0}^\Theta$ についてのVafa-Intriligatorの公式と一致する。
• ドンゼット・オペルのモジュライスタックは、曲線のモジュライ空間上一般にエタールであり、数え上げの有限性と計算可能性を示す上で重要な一歩である。
• 直交的リー代数$\mathrm{so}_{2l+1}$ とシミプレクティックリー代数$\mathrm{sp}_{2m}$ のオペル間の双対性は、それらのモジュライ空間に同型を誘導し、表現論における古典的双対性を一般化する。
• 次数の計算は、$\sin(\pi \theta / p)$ 項を含む多変数留数に帰着され、これは$\cot(\pi \theta / p)$ のローラン展開とベルヌーイ数と関連している。