[論文レビュー] A Theory of Lorentzian Kac-Moody algebras

Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|Oct 1, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化 Kac-Moody 代数とタイプ IV のヘルミート対称領域上の自動形式を用いて、ローレンツ型 Kac-Moody 代数（有限およびアフィン Kac-Moody 代数の一般化）の包括的な理論を構築する。主な貢献は、Weyl 群が有限体積の基本多面体を持つ双曲空間上で作用する枠組みを提供することであり、これにより、格子 Weyl ベクトルと自動形式の分母関数を用いた分類計画が可能になる。

ABSTRACT

We present a variant of the Theory of Lorentzian (i. e. with a hyperbolic generalized Cartan matrix) Kac-Moody algebras recently developed by V. A. Gritsenko and the author. It is closely related with and strongly uses results of R. Borcherds. This theory should generalize well-known Theories of finite Kac-Moody algebras (i. e. classical semisimple Lie algebras corresponding to positive generalized Cartan matrices) and affine Kac-Moody algebras (corresponding to semi-positive generalized Cartan matrices). Main features of the Theory of Lorentzian Kac-Moody algebras are: One should consider generalized Kac-Moody algebras introduced by Borcherds. Denominator function should be an automorphic form on IV type Hermitian symmetric domain (first example of this type related with Leech lattice was found by Borcherds). The Kac-Moody algebra is graded by an integral hyperbolic lattice $S$. Weyl group acts in the hyperbolic space related with $S$ and has a fundamental polyhedron $\Cal M$ of finite (or almost finite) volume and a lattice Weyl vector. There are results and conjectures which permit (in principle) to get a ``finite'' list of all possible Lorentzian Kac-Moody algebras. Thus, this theory looks very similar to Theories of finite and affine Kac-Moody algebras but is much more complicated. There were obtained some classification results on Lorentzian Kac-Moody algebras and many of them were constructed.

研究の動機と目的

• 有限およびアフィンの場合を超えて、ローレンツ型（双曲的）一般化 Cartan 行列を含む Kac-Moody 代数の分類を拡張すること。
• 一般化 Kac-Moody 代数と自動形式を用いたローレンツ型 Kac-Moody 代数の体系的枠組みを確立すること。
• Weyl 群の双曲空間への作用の幾何学的性質と分母関数の性質に基づく分類計画を提供すること。
• 有限およびアフィン Kac-Moody 代数の構造的特徴を、双曲幾何と自動形式から生じる新規現象と統合すること。
• 格子 Weyl ベクトルと有限体積の基本多面体を用いたローレンツ型 Kac-Moody 代数の存在と構成を探索すること。

提案手法

• ボルチャーズが導入した一般化 Kac-Moody 代数を、基礎的な代数的構造として用いる。
• ローレンツ型 Kac-Moody 代数の分母関数として、タイプ IV のヘルミート対称領域上の自動形式を適用する。
• 整数的双曲格子 $ S $ による順序付けを課し、これにより根空間構造を定義する。
• Weyl 群の関連する双曲空間への作用を分析し、有限（またはほとんど有限）体積の基本多面体 $ \mathcal{M} $ に注目する。
• 可能な代数を制約し分類を可能にするために、格子 Weyl ベクトルの概念を用いる。
• 特にリーク格子からの自動形式の構成に関する R. ボルチャーズの結果を、一般理論のプロトタイプとして活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac-Moody 代数の理論は、どのようにして双曲的（ローレンツ型）一般化 Cartan 行列を含む形に拡張できるか？
• RQ2 タイプ IV のヘルミート対称領域上の自動形式は、ローレンツ型 Kac-Moody 代数の分母関数を定義するために果たす役割は何か？
• RQ3 格子 $ S $ に関連する双曲空間における Weyl 群の作用が、分類を支える有限体積の基本多面体を生じるか？
• RQ4 格子 Weyl ベクトルは、ローレンツ型 Kac-Moody 代数の可能な構造をどのように制約するか？
• RQ5 このような代数の分母関数が自動形式であるための条件は何か？また、リーク格子からのボルチャーズ代数の既知のケースをどのように一般化するか？

主な発見

• 有限およびアフィン Kac-Moody 代数は、双曲的一般化 Cartan 行列と自動形式の分母関数を組み込むことで一般化される。
• Weyl 群は整数的双曲格子 $ S $ に関連する双曲空間上で作用し、その基本多面体 $ \mathcal{M} $ は有限体積を有する。
• 格子 Weyl ベクトルの存在は、可能なローレンツ型 Kac-Moody 代数の有限またはほとんど有限な分類を可能にする重要な制約を提供する。
• 分母関数はタイプ IV のヘルミート対称領域上の自動形式として実現され、ボルチャーズのリーク格子からの構成を一般化する。
• この枠組みにより、多くのローレンツ型 Kac-Moody 代数の体系的構成が可能となり、すでに分類結果が得られている。
• 理論は既知の例と整合しており、幾何的および算術的制約を用いた、すべてのこのような代数の完全な分類への道筋を提供する。