[論文レビュー] Paradigm of Nonassociative Hom-algebras and Hom-superalgebras

Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 36被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、代数的恒等式が自己準同型によってねじれられる非可換ホム代数およびホム超代数の体系的導入とサーベイを提供する。ホム可換的、ホムリー、ホムジョルダン、ホム代数的代数といった基礎的構造を確立し、ホム可換的代数のプラス構成がホムジョルダン代数を生成すること、および通常のジョルダン代数の自己準同型がねじれることでホムジョルダン代数が得られることを証明する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to give a survey of nonassociative Hom-algebra and Hom-superalgebra structures. The main feature of these algebras is that the identities defining the structures are twisted by homomorphisms. We discuss Hom-associative algebras, Hom-Flexible algebras, Hom-Lie algebras, $G$-hom-associative algebras, Hom-Poisson algebras, Hom-alternative algebras and Hom-Jordan algebras and $\mathbb{Z}_2$-graded versions. We give an overview of the development of Hom-algebras structures which have been intensively investigated recently.

研究の動機と目的

• 非可換ホム代数およびホム超代数の出現分野を体系化しサーベイすること。
• ホモモーフィズムが結合的、反対称的、ヤコビ恒等式といった古典的代数的恒等式を変形する役割を明確にすること。
• ホム代数と古典的構造との関係を確立すること、例えばホム可換的代数からホムリー代数が得られ、通常のジョルダン代数からホムジョルダン代数が得られること。
• 階数付き設定への理論の拡張、特にホムリー超代数および$β$-階数付き代数。
• ファンクター、普遍的構成、ホムリー可適代数の分類を通じてホム代数構造の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 代数的恒等式が自己準同型によってねじられるものとして、ホム代数を三重組$(V, \mu, \alpha)$として定義する。ここで$\mu$は双線形乗法であり、$\alpha: V \to V$は恒等式をねじる線形写像である。
• ねじれた結合的条件によりホム可換的代数を導入する：$\mu(\alpha(x), \mu(y,z)) = \mu(\mu(x,y), \alpha(z))$。
• ホム可換的代数の交換子括弧によりホムリー代数を構成する：$[x,y]_\mu = \mu(x,y) - \mu(y,x)$。これはねじれたヤコビ恒等式を満たす。
• ホム可換的代数上でのプラス構成$\mu(x,y) = \frac{1}{2}(\mu(x,y) + \mu(y,x))$を用いてホムジョルダン代数を定義し、直接計算によりホムジョルダン恒等式が成り立つことを証明する。
• ジョルダン代数上の代数自己準同型$\alpha$が$\mu_\alpha = \alpha \circ \mu$によりホムジョルダン代数を誘導することを示し、$f \circ \alpha = \alpha' \circ f$の下で準同型が保存されることを示す。
• 超代数への一般化を図り、超交換子を用いたホムリー超代数および代数的およびジョルダン代数の$\mathbb{Z}_2$-階数付き版を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的、反対称的、ヤコビ恒等式といった古典的非可換代数的構造（リー、ジョルダン、代数的）を、ねじれた恒等式を持つホム代数に一般化する方法は何か？
• RQ2 ホム可換的代数の交換子がホムリー代数を生成するための条件は何か？
• RQ3 ホム可換的代数のプラス構成がホムジョルダン代数を生成できるか？その条件は何か？
• RQ4 通常のジョルダン代数の自己準同型がホムジョルダン代数を誘導する方法は何か？また、代数準同型とどのように整合するか？
• RQ5 $G$-ホム可換的代数はホムリー可適代数およびその超代数的類似物の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• ホム可換的代数のプラス構成、すなわち$\mu(x,y) = \frac{1}{2}(\mu(x,y) + \mu(y,x))$により定義されるものだが、これはホムジョルダン恒等式を満たし、ホムジョルダン代数として成立することが示された。
• ジョルダン代数の自己準同型$\alpha$は$\mu_\alpha = \alpha \circ \mu$によりホムジョルダン代数を誘導する。また、$f \circ \alpha = \alpha' \circ f$の下で準同型が保存される。
• ホム可換的超代数の超交換子はホムリー超代数を生成し、古典的リー超代数の構成を一般化する。
• ホム代数的代数は、その引数に関して交代的であるねじれたアソシエータ恒等式を満たし、代数的性質を一般化する。
• ホム可換的代数の圏は、交換子括弧構成を通じてホムリー代数の圏への随伴ファンクターを備える。
• ホムポisson代数はホム可換的代数の変形理論から自然に生じ、互いに適合するホム可換的およびホムリー代数構造として定義される。