[論文レビュー] A Unified Framework for Multiscale Modeling using the Mori-Zwanzig Formalism and the Variational Multiscale Method

Eric Parish, Karthik Duraisamy|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、モーリ・ツワンツィグ（MZ）形式と変分マルチスケール（VMS）法を統合し、非線形PDEのマルチスケールモデリングのための体系的で数学的に厳密なフレームワークを構築する。有限要素法における解釈不能なスケールに対する非マルコフ型、記憶積分型閉じ込めを導出しており、有限記憶のMZモデルが線形移流において上流化フラックス補正に還元されることを示している。これは、人工的粘性法や安定化有限要素法と正式に同等であることを意味する。

ABSTRACT

We describe a paradigm for multiscale modeling that combines the Mori-Zwanzig (MZ) formalism of Statistical Mechanics with the Variational Multiscale (VMS) method. The MZ-VMS approach leverages both VMS scale-separation projectors as well as phase-space projectors to provide a systematic modeling approach that is applicable to non-linear partial differential equations. Spectral as well as continuous and discontinuous finite element methods are considered. The framework leads to a formally closed equation in which the effect of the unresolved scales on the resolved scales is non-local in time and appears as a convolution or memory integral. The resulting non-Markovian system is used as a starting point for model development. We discover that unresolved scales lead to memory effects that are driven by an orthogonal projection of the coarse-scale residual and inter-element jumps. It is further shown that an MZ-based finite memory model is a variant of the well-known adjoint-stabilization method. For hyperbolic equations, this stabilization is shown to have the form of an artificial viscosity term. We further establish connections between the memory kernel and approximate Riemann solvers. It is demonstrated that, in the case of one-dimensional linear advection, the assumption of a finite memory and a linear quadrature leads to a closure term that is formally equivalent to an upwind flux correction.

研究の動機と目的

• マルチスケールPDEにおける解釈不能なスケールをモデリングする体系的で数学的に一貫したフレームワークの開発。
• 有限要素離散化の文脈において、変分マルチスケール（VMS）法とモーリ・ツワンツィグ（MZ）形式の間のギャップを埋めること。
• 解釈可能なスケールに非局所的記憶積分によって影響を与える、形式的に閉じた非マルコフ型系の導出。
• MZに基づく記憶カーネルと、随伴安定化や人工的粘性といった既存の安定化技術との関係の確立。
• 有限記憶のMZモデルが、線形移流において既知の上流化フラックス補正（upwind flux correction）を回復することの実証。

提案手法

• 解釈可能なスケールと解釈不能なスケールに分解するため、VMSのスケール分離射影子とMZの位相空間射影子を組み合わせる。
• 解釈可能なスケールに解釈不能なスケールの非局所的効果を記述する記憶積分を含む一般化ランジュビン方程式（GLE）を導出する。
• 連続および非連続ガラーキン有限要素法にこのフレームワークを適用し、直交射影を用いて残差および要素間ジャンプからの記憶寄与を分離する。
• 粗スケールの残差および要素間ジャンプの直交射影を用いて、MZ形式における記憶カーネルを構築する。
• 数値フラックス関数および基底関数の射影を用いて、非連続ガラーキン法における記憶カーネルを明示的に導出する。
• 1次元線形移流において有限記憶と線形台形則を仮定すると、閉じ込め項が上流化フラックス補正と正式に同等になることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーリ・ツワンツィグ形式を体系的に変分マルチスケール法と組み合わせることで、PDEの統合的マルチスケールモデリングフレームワークを構築できるか。
• RQ2 解釈不能なスケールが非マルコフ的に解釈可能なスケールに影響を与える仕組みは何か。有限要素法において記憶積分でこれを捉えることができるか。
• RQ3 MZに基づく記憶カーネルと、随伴安定化や人工的粘性といった古典的安定化技術との関係は何か。
• RQ4 線形移流における有限記憶MZモデルは、非連続ガラーキンフレームワークにおいて、よく知られた上流化フラックス補正を回復するか。
• RQ5 非連続有限要素法における数値フラックス関数と関連づけて、記憶カーネルを明示的に計算できるか。

主な発見

• MZ-VMSフレームワークにより、解釈不能なスケールが時間非局所的記憶積分によって解釈可能なスケールに影響を与える、形式的に閉じた非マルコフ型系が得られる。
• 記憶カーネルは、粗スケールの残差および要素間ジャンプの直交射影によって駆動され、これが正確なモデリングに不可欠である。
• MZに基づく有限記憶モデルは、随伴安定化法と正式に同等であり、統計力学と数値安定化の間の厳密な接続を確立する。
• 双曲型方程式では、安定化が人工的粘性項の形をとる。これは古典的数値法と整合的である。
• 1次元線形移流において、有限記憶と線形台形則を仮定すると、閉じ込め項が上流化フラックス補正と正式に同等になる。
• 導出された記憶カーネルは、数値フラックス関数に明示的に依存しており、中央フラックスの場合、記憶長が適切にスケーリングされれば、得られる安定化は上流補正と一致する。