[論文レビュー] A Weak Galerkin Finite Element Method for the Maxwell Equations

Lin Mu, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不連続な近似を用いた多面体メッシュ上で時間調和 Maxwell 方程式を解くための弱ガレルキン（WG）有限要素法を提示する。この手法は、安定化を伴う離散弱カurlおよび勾配作用素を用い、$H^1$-類似および$L^2$-類似ノルムの両方で最適収束率を達成する。また、内部自由度を削除するためのシュール補完を用いた効率的な解法が可能である。

ABSTRACT

This paper introduces a numerical scheme for time harmonic Maxwell's equations by using weak Galerkin (WG) finite element methods. The WG finite element method is based on two operators: discrete weak curl and discrete weak gradient, with appropriately defined stabilizations that enforce a weak continuity of the approximating functions. This WG method is highly flexible by allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary shape of polyhedra and, at the same time, is parameter free. Optimal-order of convergence is established for the weak Galerkin approximations in various discrete norms which are either $H^1$-like or $L^2$ and $L^2$-like. An effective implementation of the WG method is developed through variable reduction by following a Schur-complement approach, yielding a system of linear equations involving unknowns associated with element boundaries only. Numerical results are presented to confirm the theory of convergence.

研究の動機と目的

• 不均質媒質における時間調和 Maxwell 方程式に対して、強固でパラメータフリーの有限要素法を開発すること。
• Maxwell 方程式の混合形式におけるベクトル場およびスカラー場への弱ガレルキンフレームワークの拡張。
• 一般の多面体要素上での不連続多項式近似を用いて、最適収束率を達成すること。
• シュール補完を用いて内部未知数を削除することで計算コストを低減し、境界自由度のみを保持すること。
• 数値的検証を含む収束の理論的基盤を提供し、特に超収束の観察を含む。

提案手法

• 微分作用素を分布的意味で近似するため、離散弱カurlおよび弱勾配作用素を導入する。
• 弱関数 $\mathbf{u}_h = \{\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_b\}$ および $p_h = \{p_0, p_b\}$ を用い、$\mathbf{u}_0, p_0$ を要素内近似、$\mathbf{u}_b, p_b$ を面ベースのトレースとする。
• 要素境界での統合を通じて、カurlおよび勾配の弱連続性を強制する安定化項を適用する。
• 内部未知数（$\mathbf{u}_0, p_0$）を削除するためのシュール補完アプローチを採用し、グローバル系を境界未知数（$\mathbf{u}_b, p_b$）のみに還元する。
• 混合有限要素スキームを構築し、$\mathbf{u}_h$ に対して $[P_k(T)]^3 \times P_{k-1}(T)$、$p_h$ に対して $P_k(T) \times P_k(e)$ を用い、最適順序収束が証明されている。
• 数値積分および平均化作用素を用いて離散ノルムおよび誤差推定器を定義し、$L^2$-類似収束のための $|||\cdot|||_{0,h}$ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ガレルキン有限要素法は、不均一係数を有する時間調和 Maxwell 方程式へ拡張可能か？
• RQ2 WG 法は、適切な離散ノルムにおいて、ベクトルおよびスカラー成分の両方で最適収束率を達成するか？
• RQ3 不連続近似を伴う任意の多面体メッシュ上でも、パラメータフリーかつ安定な方法となるか？
• RQ4 特に分(piecewise)定数スカラー近似を用いた場合、低次の多項式における WG 法の性能はいかがなものか？
• RQ5 離散 $L^2$ ノルムにおいて超収束が観察されるか？ もし観察されるならば、その原因は何か？

主な発見

• $s=t=k$ かつ $\ell=k-1$, $\iota=k$ の場合、$\mathbf{u}_h$ について $H^1$-類似ノルム、$p_h$ について $L^2$-類似ノルムで、$O(h^k)$ の最適収束が証明された。
• 数値結果により、$|||\mathbf{e}_h|||_1$, $\|\mathbf{e}_0\|_{L^2}$, $|||\epsilon_h|||_0$, $|||\epsilon_h|||_{0,h}$ など、すべてのテストノルムで最適収束率が確認され、収束次数が $O(h^k)$ に近づく。
• $s=t=k$, $\ell=\iota=k-1$ の場合、数値実験では $O(h^k)$ の収束次数が示されたが、理論的解析は提供されていない。
• シュール補完を用いることで、グローバルに結合された自由度が顕著に削減され、内部未知数（$\mathbf{u}_0, p_0$）が局所的に削除された。
• $p_h$ については、離散 $L^2$ ノルムで超収束が観察され、理論的予測の $O(h)$ よりも高い $O(h^2)$ の収束次数を示した。これは、高次収束行動の可能性を示唆している。
• 分(piecewise)定数スカラー近似（$P_0$）に対しても、法は安定かつ収束し、理論的根拠が欠如しているにもかかわらず、優れた性能を示した。