[論文レビュー] A Weak Galerkin Mixed Finite Element Method for Second-Order Elliptic Problems

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の多角形／多面体メッシュ上で不連続な区分的多項式を用いることで、2階楕円型問題に対する新しい弱ガレルキン混合有限要素法（WG-MFEM）を提案する。この手法は、離散的弱発散作用素を用いており、離散的 $H^1$ および $L^2$ ノルムにおける最適な誤差推定を可能にするとともに、メッシュ設計および多項式近似の高い柔軟性を保ちながら、局所的質量保存を確保する。

ABSTRACT

A new weak Galerkin (WG) method is introduced and analyzed for the second order elliptic equation formulated as a system of two first order linear equations. This method, called WG-MFEM, is designed by using discontinuous piecewise polynomials on finite element partitions with arbitrary shape of polygons/polyhedra. The WG-MFEM is capable of providing very accurate numerical approximations for both the primary and flux variables. Allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary shape of polygons/polyhedra makes the method highly flexible in practical computation. Optimal order error estimates in both discrete $H^1$ and $L^2$ norms are established for the corresponding weak Galerkin mixed finite element solutions.

研究の動機と目的

• 任意の多角形／多面体メッシュと不連続近似を許容する、2階楕円型問題のための柔軟な有限要素法の開発を目的とする。
• 離散的弱発散作用素を導入することで、弱ガレルキンフレームワークを混合有限要素法に拡張することを目的とする。
• 離散的 $H^1$ および $L^2$ ノルムにおける、流れ密度と主変数の近似の両方について、最適な誤差推定を確立することを目的とする。
• 多孔質媒体の流れおよび輸送シミュレーションの応用において重要な局所的質量保存を維持することを目的とする。
• 古典的混合有限要素法における連続性制約を、分布的微分に基づく弱定式化によって克服することを目的とする。

提案手法

• 流れ密度 $\mathbf{q}$ とスカラー変数 $u$ を含む1階系に2階楕円型問題を定式化し、$\alpha\mathbf{q} + \nabla u = 0$ および $\nabla \cdot \mathbf{q} = f$ を満たす。
• 各要素内で局所的に定義される離散的弱発散作用素 $\nabla_w \cdot$ を導入し、不連続なベクトル値関数を扱う。
• 一般の多角形／多面体分割上で、$\mathbf{q}_h$ および $u_h$ の両方を不連続な区分的多項式で構築する弱ガレルキン混合有限要素定式化を構築する。
• 変分定式化を導出：すべてのテスト関数に対して、$\mathbf{q}_h \in \mathcal{V}_h$, $u_h \in \mathcal{W}_h$ を満たすように $(\alpha \mathbf{q}_h, \mathbf{v}) - (\nabla_w \cdot \mathbf{v}, u_h) = \langle g, \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \rangle_{\partial\Omega}$ および $(\nabla_w \cdot \mathbf{q}_h, w) = (f, w)$ を満たす。
• 形状正則な単体に基づく逆不等式および領域逆推定を用いて、局所ノルムを評価し、誤差境界を導出する。
• 離散エネルギーノルムにおける安定性、整合性、および逆不等式の議論を組み合わせることで、最適収束率を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階楕円型問題に対して、任意の多角形／多面体メッシュ上での不連続近似を許容する弱ガレルキン混合有限要素法を構築可能か？
• RQ2 局所的質量保存および最適収束を可能にする離散的弱発散作用素の構造と安定性はいかなるものか？
• RQ3 WG-MFEMフレームワークにおいて、$H^1$ および $L^2$ ノルムにおける最適誤差推定は、メッシュの形状と多項式の次数にどのように依存するか？
• RQ4 メッシュ設計の高さと高次精度を維持しつつ、局所的質量保存を保持できるか？
• RQ5 弱勾配および弱発散に基づく混合有限要素スキームの最適収束を証明するために必要な理論的道具は何か？

主な発見

• WG-MFEMは、流れ密度 $\mathbf{q}$ および主変数 $u$ の両方について、離散的 $H^1$ および $L^2$ ノルムで最適収束率を達成する。
• 任意の多角形および多面体要素を含む一般の有限要素分割の仮定のもとで、最適誤差推定が確立される。
• 弱発散および弱ガレルキン定式化の使用により、不連続近似であっても局所的質量保存が保証される。
• 離散的弱発散作用素 $\nabla_w \cdot$ は、不連続多項式空間上で適切に定義され、安定的であり、この手法の柔軟性を可能にする。
• 領域逆不等式が証明された：任意の形状正則な単体 $K$ 上の次数 $n$ の多項式 $v$ に対して、$\|v\|_K^2 \leq C(\varsigma_*, n) \|v\|_S^2$ が成り立つ。ここで $S \subset K$ は半径が $h_K$ に比例する球である。
• 各要素 $T$ に対して、次数 $n$ の区分的多項式 $\varphi$ について、逆不等式 $\|\nabla \varphi\|_T \leq C(n) h_T^{-1} \|\varphi\|_T$ が成り立つ。これは誤差解析に不可欠である。