[論文レビュー] ABCD of 3d ${\cal N}=8$ and 4 Superconformal Field Theories

Dongmin Gang, Eunkyung Koh+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、3次元 ${\cal N}=8$ 超共形場理論（SCFT）と、ABC Dゲージ群 $U(N)$, $SO(2N+1)$, $Sp(2N)$, $O(2N)$ を持つYang-Mills理論と、$k=1,2$ のABJ(M) Chern-Simons- matter 理論との間に双対性が存在することを提案する。超共形指数と大 $N$ 限界を用いて、これらのYang-Mills理論の赤方点固定点とそのABJ(M)対応物との間で指数が一致することを確立し、明示的な指数計算と $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ オルビフォールドにおける重力双対を通じて双対性を確認する。

ABSTRACT

We argue the equivalence between the infrared conformal field theory of the 3d $\mathcal{N}=8$ supersymmetric Yang-Mills theories of ABCD ($U(N), SO(2N+1), Sp(2N), O(2N)$) gauge groups and the ABJ(M) theories of $U(N)_k imes U( ilde N)_{-k}$ for $k=1,2$. We support this duality by comparing the superconformal index of the IR limit of these super Yang-Mills theories and that of those ABJ(M) models. Especially we find the match between two indices of (mirror dual of) the $\mathcal{N}=8$ U(N) SYM and of $U(N)_1 imes U(N)_{-1}$ ABJM model. Also we take large $N$ limit of ABCD super Yang-Mills theories with additional fundamental hyper-multiplets and infer the large N limit of $\mathcal{N}=8$ ABCD theories themselves, finding the expected gravitational duals. With the additional input on finite N, we argue the equivalence of Yang-Mills and ABJ(M) theories for all N. We further explore similar dualities to Chern-Simons matter theories for $\mathcal{N}=4$ Yang-Mills theories related by mirror symmetry.

研究の動機と目的

• 3次元 ${\cal N}=8$ 超ヤンミルズ（SYM）理論とABC Dゲージ群を有する理論と、ABJ(M) Chern-Simons- matter 理論との間の赤方点（IR）固定点に双対性を確立すること。
• それぞれのIR SCFTの超共形指数を計算・比較することで、この双対性をテストすること。
• 鏡対称性を介して ${\cal N}=4$ ヤンミルズ理論へ双対性を拡張し、Chern-Simons- matter 理論との類似した双対性を提案すること。
• ヒッグス化の極限とオルビフォールド構造を分析することで、有限 $N$ における双対性を確認し、大 $N$ 限界における重力双対と整合性を保つこと。

提案手法

• ${\cal N}=4$ の鏡双対にさらに基本ヒペルマルチプレットを追加したことで、${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM の超共形指数を計算する。
• 鏡双対が存在しないため、$O(2N)$, $SO(2N+1)$, $Sp(2N)$ SYM 理論に対しては間接的な方法を適用する。
• ABCD SYM 理論に $m$ 個の基本ヒペルマルチプレットを導入し、指数の大 $N$ 限界を計算する。
• 大 $N$ における場の理論の指数が、ねじれ項を含む $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ オルビフォールドの指数と一致することを確認する。
• Fourier変換の恒等式（例：$1/\cosh(\pi\sigma) = \int d\tau \, e^{2\pi i \tau \sigma}/\cosh(\pi\tau)$）を用いて、SYM理論とABJ(M)理論の分配関数を関連付ける。
• ${\cal N}=4$ $U(N)^n$ SYM と $\mathcal{N}=4$ Chern-Simons 理論の分配関数が、積分恒等式と変数の再定義により同一であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM 理論の赤方点固定点は、$U(N)_1 \times U(N)_{-1}$ ABJM モデルと双対的か？
• RQ2 ${\cal N}=8$ SYM 理論の $O(2N)$, $SO(2N+1)$, $Sp(2N)$ ゲージ群のIR SCFT は、$k=2$ のABJ(M)理論で記述可能か？
• RQ3 大 $N$ 限界において、${\cal N}=8$ ABCD SYM 理論の指数は、$\mathbb{Z}_m$ ねじれ項を含む $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ の指数と一致するか？
• RQ4 ${\cal N}=4$ ヤンミルズ理論における鏡対称性は、双対的なChern-Simons- matter 理論を導くことができ、指数の一致によってこの双対性は確認できるか？
• RQ5 ABCD SYM とABJ(M)理論の双対性は有限 $N$ においても成り立つか？ヒッグス化またはオルビフォールド還元によって確認可能か？

主な発見

• ${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM 理論の超共形指数は、小さな $N$ において $U(N)_1 \times U(N)_{-1}$ ABJM モデルのそれと正確に一致し、有限 $N$ における双対性が確認される。
• ${\cal N}=8$ $O(2N)$ SYM 理論の赤方点固定点は $U(N)_2 \times U(N)_{-2}$ ABJM モデルと双対的であり、$SO(2N+1)$ SYM 理論は $U(N)_2 \times U(N+1)_{-2}$ ABJ 理論へと流れ着く。
• $Sp(2N)$ SYM 理論には2つの可能な双対が存在する：$U(N)_2 \times U(N)_{-2}$ または $U(N)_2 \times U(N+1)_{-2}$ のABJ(M)モデル。
• 大 $N$ 限界において $m$ 個の基本ヒペルマルチプレットを有する場合、ABCD SYM 理論の指数は $\mathbb{Z}_m$ ねじれ項を含む $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ の指数と一致し、重力双対が確認される。
• ${\cal N}=4$ $U(N)^n$ SYM と $\mathcal{N}=4$ Chern-Simons 理論の分配関数は、Fourier変換の恒等式と変数の再定義を適用した後、同一である。
• オルビフォールドされた $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 空間の場の理論的指数が、大 $N$ 限界における $k=2$ のABJ(M)理論の指数と一致するという事実により、双対性はさらに裏付けられる。この事実は、既に文献で確認済みである。