[論文レビュー] Abelian fibred holomorphic symplectic manifolds

Justin Sawon|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、K3表面上の楕円曲線ファイブレーションを一般化し、射影空間へのアーベル簇をファイバーとするファイブレーションを研究することによって、非可約な複素シンプレクティック多様体の分類フレームワークを提案する。すべてのこのような多様体が、切断、相対ヤコビアン、またはねじりを介してベーユブの例と変形同値にできると予想し、曲線上の層のモジュライ空間および特異ファイブレーションの変形理論からの主要な証拠を提示する。

ABSTRACT

We study holomorphic symplectic manifolds which are fibred by abelian varieties. This structure is a higher dimensional analogue of an elliptic fibration on a K3 surface. We investigate when a holomorphic symplectic manifold is fibred in this way, and are led to several natural conjectures. We then study the geometry of these fibrations. The expectation is that this point of view will prove useful in understanding holomorphic symplectic manifolds, and possibly lead to a classification.

研究の動機と目的

• 非可約な複素シンプレクティック多様体が、K3表面上の楕円ファイブレーションを一般化したアーベル多様体ファイブレーションをもつ条件を理解すること。
• このような多様体が、切断をもつように変形可能かどうかを調査し、それによってベーユブのヒルベルトスキームや一般化されたクラスマーサイズに結びつけること。
• 切断のないファイブレーションをねじりや相対ヤコビアン構成を用いて、切断をもつものと関連づけ、既知の例と変形同値にすることを目的とする。
• 特異ファイバーおよび多重ファイバーが、トポロジー的および変形不変量に果たす役割、特にオグレイドの10次元例との関係を明らかにすること。
• ファイブレーションを通じた複素シンプレクティック多様体の分類を統一するプログラムを確立し、すべての例がベーユブの構成と関連づけられることを狙う。

提案手法

• K3表面上の楕円ファイブレーションの三段階プログラム（ファイブレーションの分類、切断の存在、相対ヤコビアンの構成）を、アーベル多様体ファイブレーションを持つ高次元の複素シンプレクティック多様体に一般化する。
• K3表面に埋め込まれた曲線上の層のムカイモジュライ空間を用い、射影空間上へのアーベルファイブレーションを持つ複素シンプレクティック多様体を構成する。
• 変形理論を用い、$S^{[5]}$ やオグレイドのモジュライ空間 $ ilde{M}$ を中間的ファイブレーション $Z_k$（$k$ を変化させながら）を介して関連づけ、その特異ファイバーを分析する。
• K3表面のグローバルTorelli定理を用い、周期とホッジ構造を関連づけ、オグレイドの非同型な重み2ホッジ構造に関する結果を応用し、変形同値でない多様体を区別する。
• 特に非還元的除集合を伴う場合に、gerbeによるねじりがファイブレーションに与える影響を研究し、完全な同型写像なしにトポロジー的変化をモデル化する。
• 特異ファイバー、特に非還元的除集合 $2E$ から生じる多重ファイバーの幾何を分析し、それが変形幾何および双有理幾何にどのように影響を与えるかを理解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約な複素シンプレクティック多様体が、$\mathbb{P}^n$ 上に $n$ 次元のアーベル多様体ファイバーを持つファイブレーションをもつのはどのような条件下か？
• RQ2 すべてのこのような多様体が、切断をもつように変形可能であり、それによってベーユブの例と関連づけられるか？
• RQ3 切断のないファイブレーションは、相対ヤコビアンやねじったバージョンとどのように関係するか？このプロセスは変形型を説明できるか？
• RQ4 特異ファイバーおよび多重ファイバー（非還元的除集合上での例として）は、アーベルファイブレーションを持つ複素シンプレクティック多様体の変形型を区別する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $Z_5$ と $Z_6$ は両方とも $S^{[5]}$ およびオグレイドのモジュライ空間に関連しているが、ねじりや特異ファイバーの変更によって関連づけられているにもかかわらず、なぜ変形同値でないのか？

主な発見

• genus 5 の曲線 $C$ 上のモジュライ空間 $Z_5 = \mathcal{M}^s(0,[C],1)$ は、ヒルベルトスキーム $S^{[5]}$ に双有理的であり、ベーユブの例との変形リンクを提供する。
• $Z_6 = \mathcal{M}^{ss}(0,[C],2)$ は特異的であり $Z_5$ と同型でないが、オグレイドの10次元モジュライ空間 $\widetilde{M}$ の開部分集合に双有理的である。
• $Z_5$ と $Z_6$ が同じ族の変形であるにもかかわらず、第二ベッチ数の違いにより変形同値でないことが判明し、特異ファイバーが引き起こすトポロジー的変化を示している。
• $Z_5$ は一般に切断を持たないが、$Z_6$ は持つ。両者は同型でないが、これはオグレイドの非同型な重み2ホッジ構造に関する結果により証明される。
• 非還元的除集合 $2E$ 上では、ファイバー $F_5$ と $F_6$ は同型でないため、特異ファイバーが変形型を区別する上で中心的な役割を果たしていることが示唆される。これは、滑らかなファイバーが局所的に同型であっても同様である。
• $Z_6$ を非自明なgerbe $\beta_1$ でねじると $Z_1$ が得られ、これは $Z_0$ と変形同値であるが同型でない。これは、ねじりが同型でないが変形同値な多様体を生成できることを示している。