[論文レビュー] About the equivalence between monads and monadic functors

Hadrian Heine|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$∞$-圏Xをターゲットとするモナディック関手の$∞$-圏と、X上のモナドの対になる$∞$-圏の間の同値性を、局所化構成を用いて確立する。さらに、この同値性をモノイダル構造や$∞$-オペラッド的適合性といった代数的構造を保つように精緻化し、モナド構造がその$∞$-圏の代数の構造に正確に対応することを示している。

ABSTRACT

Given a $\infty$-category X we exhibit the $\infty$-category of right adjoint functors with target X as a localization of the opposite of the $\infty$-category of monads on X. This localization restricts to an equivalence between the $\infty$-category of monadic functors with target X and the opposite of the $\infty$-category of monads on X. We refine this result in the case that the monads carry algebraic structure, e.g. are monads on a (symmetric) monoidal $\infty$-category compatible with the (symmetric) monoidal structure, monads on a $\infty$-operad compatible with the $\infty$-operad structure or monads on a double $\infty$-category compatible with this structure. This says that structure on a monad corresponds to structure on its $\infty$-category of algebras. Moreover we prove dual results about left adjoint functors, comonads and comonadic functors.

研究の動機と目的

• 局所化を用いて、ターゲットがXであるモナディック関手の$∞$-圏と、X上のモナドの反対$∞$-圏との間の圏論的同値性を確立すること。
• モナドに、対称モノイダル構造や$∞$-オペラッド的適合性といった追加の代数的構造が備わっている場合に、この同値性を拡張すること。
• 左随伴関手、コモナド、コモナディック関手に対して結果を双対化すること。
• モナドに代数的構造が備わっていると、その$∞$-圏の代数にそれに対応する構造が誘導されることを示すこと。

提案手法

• X上のモナドの反対$∞$-圏の局所化を用いて、ターゲットがXである右随伴関手をモデル化する。
• 右随伴関手をフル部分圏として特定する普遍性を用いて、局所化を構成する。
• モノイダル構造や$∞$-オペラッド的適合性といった追加構造を持つモナドに対し、その同値性がこのような構造を保存することを適用する。
• 得られた同値性が、モナディック関手と反対モナドの間の同値性に制限されることを証明する。
• 左随伴関手、コモナド、コモナディック関手のための構成を、反対$∞$-圏を用いて双対化する。
• モナドの構造がその代数の圏に誘導する構造を示すことで、対応関係が代数的構造を保存することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ターゲットがXである右随伴関手の$∞$-圏は、X上のモナドの反対$∞$-圏の局所化としてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 代数的構造を備えたモナドと、その$∞$-圏の代数の構造との間の正確な関係は何か？
• RQ3 対称モノイダル構造や$∞$-オペラッド的適合性と適合するような構造付きモナドに対して、モナディック関手と反対モナドの同値性はどのように拡張されるか？
• RQ4 $∞$-圏的設定において、モナドとモナディック関手の双対性はコモナドとコモナディック関手へと拡張可能か？
• RQ5 モナドに適合する代数的構造が存在する場合、その構造はその代数の圏に対しても同様の構造を誘導するか？

主な発見

• ターゲットがXである右随伴関手の$∞$-圏は、X上のモナドの反対$∞$-圏の局所化と同値である。
• この局所化により、ターゲットがXであるモナディック関手の$∞$-圏と、X上のモナドの反対$∞$-圏との同値性が誘導される。
• 対称モノイダル構造や$∞$-オペラッド的構造と適合するモナドに対しては、その代数の圏に誘導される構造が、モナド自身が持つ構造と一致する。
• 双対性は左随伴関手、コモナド、コモナディック関手へと拡張され、コモナディック関手と反対コモナドの双対同値性が確立される。
• 対応関係は構造を保存する：モナドの代数的特徴（例えばモノイダル適合性）は、その代数の圏に対し、それに対応する特徴として反映される。
• 結果として、$∞$-圏的設定において、モナド構造とその代数の圏の構造が正確に一対一に対応することが示された。