[論文レビュー] Absorbing Cantor sets in dynamical systems: Fibonacci maps

Henk Bruin, Gerhard Keller+2 more|ArXiv.org|Jan 29, 1994

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、[0,1] 上に非再正規化可能な単峰的多項式写像を構成し、臨界点の ω-極限集合がカントール集合である一方で、Lebesgueほとんど everywhere の点に対しては、その ω-極限集合が臨界点のそれと一致する。このことは、写像が非再正規化可能であり、残渣的集合として区間の ω-極限集合を持つ点が存在するにもかかわらず、位相的吸引域と測度的吸引域が一致しない事例を示しており、ミルナーの問いに答えている。

ABSTRACT

In this paper we shall show that there exists a polynomial unimodal map f: [0,1] -> [0,1] which is 1) non-renormalizable(therefore for each x from a residual set, $ω(x)$ is equal to an interval), 2) for which $ω(c)$ is a Cantor set, and 3) for which $ω(x)=ω(c)$ for Lebesgue almost all x. So the topological and the metric attractor of such a map do not coincide. This gives the answer to a question posed by Milnor.

研究の動機と目的

• 単峰的力学系における位相的吸引域と測度的吸引域の違いについてミルナーが提起した問いを解決すること。
• 臨界点の ω-極限集合がカントール集合である、[0,1] 上の非再正規化可能な単峰的写像を構成すること。
• Lebesgueほとんど everywhere の点に対して、その ω-極限集合が臨界点のそれと一致することを示すこと。ただし、残渣的集合の点は区間の ω-極限集合を持つ。
• このような系において、位相的吸引域（再帰点の閉包）と測度的吸引域（不変測度の台）が一致しないことを示すこと。
• 非再正規化可能な写像が、臨界点の ω-極限集合がカントール集合である場合、必ず区間吸引域を持つという予想に対する反例を提供すること。

提案手法

• フィボナッチ的構造を有する特定の多項式単峰的写像 f: [0,1] → [0,1] を構成し、非再正規化性を保証すること。
• フィボナッチ的組み合わせ構造を用いて、臨界点付近での戻り時間とスケーリング挙動を制御すること。
• 実解析および区間力学の技術を用いて、臨界点の ω-極限集合がカントール集合であることを検証すること。
• 歪度推定と収縮する近傍を用いて、臨界点の ω-極限集合と一致する点の集合が全Lebesgue測度を持つことを証明すること。
• 非再正規化性と周期軌道の稠密性を活用して、残渣的集合の点が区間の ω-極限集合を持つことを確立すること。
• 位相的力学と測度論的議論を組み合わせ、位相的吸引域と測度的吸引域の違いを明確にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非再正規化可能な単峰的写像が、臨界点の ω-極限集合としてカントール集合を持つことは可能か？
• RQ2 このような写像が、Lebesgueほとんど everywhere の点が臨界点と同じ ω-極限集合を持つことは可能か？
• RQ3 非再正規化可能な単峰的系において、位相的吸引域と測度的吸引域が一致しないことはあり得るか？
• RQ4 残渣的集合に区間の ω-極限集合を持つ点が存在する場合、ほとんどすべての点がカントール集合を吸引域として持つことは不可能だろうか？
• RQ5 どのような力学的構造が、非再正規化可能な写像がカントール集合吸引域を支持しつつも、全測度の点がそれへ収束することを可能にするのか？

主な発見

• 臨界点の ω-極限集合 ω(c) がカントール集合である、[0,1] 上の非再正規化可能な単峰的多項式写像 f: [0,1] → [0,1] が存在する。
• Lebesgueほとんど everywhere の x ∈ [0,1] に対して、ω(x) = ω(c) が成り立つ。つまり、測度的吸引域はカントール集合である。
• 全測度の点がカントール集合を ω-極限集合として持つにもかかわらず、残渣的集合の点は区間の ω-極限集合を持つ。
• 位相的吸引域（再帰点の閉包）は、測度的吸引域（不変測度の台）であるカントール集合よりも厳密に大きい。
• この構成により、臨界点の ω-極限集合がカントール集合である非再正規化可能な写像が、必ず区間吸引域を持つという仮説に対する反例が得られた。
• この結果により、非再正規化可能な単峰的系において、位相的吸引域と測度的吸引域が一致しないことが確認され、ミルナーの問いが解決された。