[論文レビュー] Adaptive Trotterization for time-dependent Hamiltonian quantum dynamics using piecewise conservation laws

Hongzheng Zhao, Marin Bukov+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 59被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する量子ハミルトニアンのための適応的トロッターライゼーション手法tADA-Trotterを提案する。この手法は、有効な時間独立ハミルトニアンの瞬時の保存則を用いて、局所的および全般的な誤差を制限する。エネルギーとエネルギー分散の測定による偏差に応じて時間ステップを動的に調整することにより、トロッターに起因する加熱を抑制し、固定ステップのトロッターライゼーションと比較して、回路深度を低減しつつも高いシミュレーション精度を達成する。

ABSTRACT

Digital quantum simulation relies on Trotterization to discretize time evolution into elementary quantum gates. On current quantum processors with notable gate imperfections, there is a critical tradeoff between improved accuracy for finer timesteps, and increased error rate on account of the larger circuit depth. We present an adaptive Trotterization algorithm to cope with time-dependent Hamiltonians, where we propose a concept of piecewise "conserved" quantities to estimate errors in the time evolution between two (nearby) points in time; these allow us to bound the errors accumulated over the full simulation period. They reduce to standard conservation laws in the case of time-independent Hamiltonians, for which we first developed an adaptive Trotterization scheme [PRX Quantum 4, 030319]. We validate the algorithm for a time-dependent quantum spin chain, demonstrating that it can outperform the conventional Trotter algorithm with a fixed step size at a controlled error.

研究の動機と目的

• ノイジィな中規模量子（NISQ）デバイスにおける時間に依存するハミルトニアンのデジタル量子シミュレーションにおいて、シミュレーションの精度と回路深度のバランスをとる課題に取り組む。
• 従来、時間独立系に限られていた適応的トロッターライゼーションを、時間に依存する設定に拡張するため、ステップサイズ適応の基準を導入する。
• 全般的な誤差の制御を通じて、トロッターに起因する加熱効果を抑制し、信頼性の高い長時間シミュレーションを可能にする。
• 測定可能な量（エネルギーとエネルギー分散）を用いて、リアルタイムでステップサイズを適応させるフィードバックベースのアルゴリズムを提供する。
• 駆動された量子スピンチェーンを用いた検証を通じて、固定ステップのトロッターライゼーションに比べて優れた性能を示す。

提案手法

• 本手法は、時間発展演算子を区間 [t, t+δt] に分割し、δt における摂動的マグニウス展開を用いて有効な時間独立ハミルトニアン H_{[∞]}^{t,δt} を定義する。
• 各区間内で、H_{[∞]}^{t,δt} の期待値およびその分散が時間発展演算後も変化しないように、瞬時の保存則を強制する。
• ステップサイズ δt は、トロッターライズド時間発展演算の前後におけるこれらの期待値の偏差を測定することで決定され、誤差が境界内に保たれる限り、δt を最大化する。
• 全般的な誤差は、瞬時の保存則における局所的誤差の累積として定義され、フィードバック制御により誤差の蓄積を防ぐために制限される。
• H_{[∞]}^{t,δt} の近似として、切り捨てられたマグニウス展開 H_{[k]}^{t,δt} を用い、時間発展演算にトロッター分解 U_{[λ]}(t+δt,t) を適用する。
• フィードバックループにより δt を動的に調整し、局所的誤差がしきい値を超えた場合にはステップサイズを小さくし、誤差が小さい場合には、特に遅いダイナミクスの領域で大きくする。

Figure 1: Schematics of tADA-Trotter for a time-dependent Hamiltonian. (a) The expectation values of the instantaneous conserved Hamiltonian $H_{[\infty]}^{t,\delta t}$ coincide at times $t$ and $t+\delta t$ . We maximize $\delta t$ as long as errors in this conservation law are bounded, i.e., devia

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効な時間独立ハミルトニアンの瞬時の保存則を用いて、時間に依存する系における適応的トロッターライゼーションの信頼性のある誤差指標を定義できるか？
• RQ2 局所的トロッターエラーの蓄積による全般的な誤差をどのように制御することで、長時間シミュレーションにおけるトロッターに起因する加熱を抑制できるか？
• RQ3 測定されたエネルギーとエネルギー分散に基づく適応的ステップサイズが、固定ステップのトロッターライゼーションに比べ、精度と回路深度の両面で優れているか？
• RQ4 強い時間依存的駆動および複雑な多体ダイナミクス下でも、アルゴリズムは精度を維持できるか？
• RQ5 このフレームワークは、開放系や高次のトロッタースキームへ一般化可能か？

主な発見

• tADA-Trotterは、瞬時の保存則における誤差蓄積を制限することで、トロッターに起因する加熱を効果的に抑制し、信頼性の高い長時間シミュレーションを可能にする。
• 固定ステップのトロッターライゼーションと比較して、著しく高い精度を達成しており、シミュレーション誤差が t > 11 以降にのみ顕著に現れる一方、固定ステップの誤差ははるかに早く（t > 5）現れる。
• 適応的ステップサイズは [0.1, 0.7] の範囲で動的に変化し、急激に変化するダイナミクスの領域では 0.1 に低下し、静穏な領域では 0.7 に増加するなど、高い柔軟性を示す。
• H_{[k]} の期待値およびその分散における蓄積誤差は、シミュレーションの大部分で指定されたしきい値以下に保たれるが、初期段階の厳しい許容誤差のため、まれに超過する場合がある。
• 精度を維持しつつ回路深度を低減しており、赤線（全般に誤差が制限された）データが正確な解に近く追従しているのに対し、青線（固定ステップ）データは早期に発散している。
• ω = 0.8 および τ = 30 の駆動されたスピンチェーンに対して、t ~ 20 の総シミュレーション時間を達成し、N = 100 のトロッターステップで実現可能であることを示した。

Figure 2: Comparison between tADA-Trotter and fixed-step Trotter algorithms. Inset depicts the stepsize that is varying in time. It takes larger values when external driving fields are weak. We use the following Hamiltonian parameters for numerical simulation, $J_{z}=1,h_{x}=3,h_{z}=0.5,\tau=30,\ome