[論文レビュー] Additive C*-categories and K-theory

Ulrich Bunke, Alexander Engel|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、C*-圏における位相的K理論の基礎的道具を確立する。無限族の直交和の導入、群による簡約化された自己同型積の構成、およびホモロジカル関手によるK理論の公理化を含む。K理論の剛性性を証明し、それらを用いて軌道圏上のG-equivariantホモロジー理論を構成することで、G-equivariant Kasparov理論や Baum–Connes予想への応用を可能にする。

ABSTRACT

We review the notions of a multiplier category and the $W^{*}$-envelope of a $C^{*}$-category. We then consider the notion of an orthogonal sum of a (possibly infinite) family of objects in a $C^{*}$-category. Furthermore, we construct reduced crossed products of $C^{*}$-categories with groups. We axiomatize the basic properties of the $K$-theory for $C^{*}$-categories in the notion of a homological functor. We then study various rigidity properties of homological functors in general, and special additional features of the $K$-theory of $C^{*}$-categories. As an application we construct and study interesting functors on the orbit category of a group from $C^{*}$-categorical data.

研究の動機と目的

• C*-圏における位相的K理論の包括的枠組みを提供すること。特に無限直交和と簡約化自己同型積に焦点を当てる。
• ホモロジカル関手の概念を用いてC*-圏のK理論を公理化し、その本質的構造的性質を捉えること。
• C*-圏に群作用が存在する文脈において、ホモロジカル関手およびK理論の剛性性を確立すること。
• C*-圏的データを用いて群の軌道圏上の関手を構成・研究し、G-equivariantホモトピー論への応用を可能にすること。
• Baum–Connes予想の文脈において、G-equivariant粗いホモロジー、KK理論、Paschke双対性に関する後続研究のための基本的背景を提供すること。

提案手法

• C*-圏における対象の族の直交和を、普遍性を用いて定義し、ヒルベルトC*-加群の直和の一般化とする。
• 群作用を伴うC*-圏の簡約自己同型積を、$\mathbf{L}^2(G,\mathbf{C})$の形をした圏への表現から導かれるノルムを用いて構成する。
• 乗数C*-圏を定義し、$W^*$包絡をそれと関連付ける。非単位的C*-圏へのユニタリ同値の拡張を拡張する。
• K理論をホモロジカル関手として公理化し、その剛性およびモリタ不変性の性質を特定する。
• ヤネダ型埋め込みおよび左ケン・拡張を用いて、軌道圏からG-equivariant位相空間への関手を上昇させる。
• 弱G-equivariant関手および誘導関手$i_G^K$を用いて、G-equivariantデータから$K$-equivariantホモロジー理論を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-圏において、対象の無限族の直交和をどのように厳密に定義し、特徴づけられるか？
• RQ2 群作用を伴うC*-圏の簡約自己同型積の構造は何か？また、$\mathbf{L}^2(G,\mathbf{C})$への表現とどのように関係するか？
• RQ3 C*-圏上のホモロジカル関手として見たK理論の剛性性とは何か？
• RQ4 群の軌道圏上の関手をどのように構成し、拡張してG-equivariantホモロジー理論にできるか？
• RQ5 これらの構成は、G-equivariant Kasparov理論およびPaschke双対性の発展をどのように支援するか？

主な発見

• この論文は、ユニタリC*-圏における対象の無限族に対して、普遍性を用いた整合的な直交和の概念を構成する。
• 群作用を伴うC*-圏の簡約自己同型積が存在し、$\mathbf{L}^2(G,\mathbf{C})$への表現から導かれるノルムによって特徴づけられることを確立する。
• C*-圏の$W^*$包絡が構成され、非単位的設定へのユニタリ同値の拡張に重要な役割を果たすことが示される。
• C*-圏のK理論は、ホモロジカル関手として完全に公理化され、剛性およびモリタ不変性の性質が証明されている。
• 軌道圏$G\mathbf{Orb}$上の関手は、左ケン・拡張を用いて$K$-equivariantホモロジー理論に拡張され、$E^K(X) \simeq E^G(\mathrm{Res}^K_G(X))$が成り立つ。
• これらの構成は、G-equivariant粗いホモロジーおよびBaum–Connes予想の文脈における、後続研究のための必要な圏論的およびホモトピー的基盤を提供する。