[論文レビュー] ADE Double Scaled Little String Theories, Mock Modular Forms and Umbral Moonshine

Jeffrey A. Harvey, Sameer Murthy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コックスター数 $ k $ の ADE ルート格子を持つ K3 上の二重スケーリング小ストリング理論を研究し、第二ヘリシティスーパートレースによって数えられる BPS 基本ストリング状態が、重み 2 の混合モジュラー形式をもたらすことを示している。経路積分およびハミルトニアン手法を用いて、経路積分がハミルトニアンの正則的だが非モジュラーな結果のモジュラー完備化を与えることを示し、ADE ルートから構成されるニエーマー格子に対して、定数因子を除いてアンブル・ムーンシャイン形式と正確に一致することを発見した。

ABSTRACT

We consider double scaled little string theory on $K3$. These theories are labelled by a positive integer $k \ge 2$ and an $ADE$ root lattice with Coxeter number $k$. We count BPS fundamental string states in the holographic dual of this theory using the superconformal field theory $K3 imes \left( \frac{SL(2,\mathbb{R})_k}{U(1)} imes \frac{SU(2)_k}{U(1)} ight) \big/ \mathbb{Z}_k$. We show that the BPS fundamental string states that are counted by the second helicity supertrace of this theory give rise to weight two mixed mock modular forms. We compute the helicity supertraces using two separate techniques: a path integral analysis that leads to a modular invariant but non-holomorphic answer, and a Hamiltonian analysis of the contribution from discrete states which leads to a holomorphic but not modular invariant answer. From a mathematical point of view the Hamiltonian analysis leads to a mixed mock modular form while the path integral gives the completion of this mixed mock modular form. We also compare these weight two mixed mock modular forms to those that appear in instances of Umbral Moonshine labelled by Niemeier root lattices $X$ that are powers of $ADE$ root lattices and find that they are equal up to a constant factor that we determine. In the course of the analysis we encounter an interesting generalization of Appell-Lerch sums and generalizations of the Riemann relations of Jacobi theta functions that they obey.

研究の動機と目的

• ADE ルート格子を有する K3 上の二重スケーリング小ストリング理論における BPS 状態のスペクトルを理解すること。
• これらの理論のホログラフィック CFT 双対を、経路積分およびハミルトニアン解析という二つの補完的手段を用いて、第二ヘリシティスーパートレースを分析すること。
• 得られた分配関数のモジュラー性質を特定し、それらをモジュラー形式に関連付けること。
• ADE ルート系から構成されるニエーマー格子におけるアンブル・ムーンシャインから生じる形式と、小ストリング理論から得られる重み 2 の混合モジュラー形式を比較すること。
• 一般化されたアペル＝レルヒ和およびテータ関数のリーマン型関係を含む、新たな数学的構造を解明すること。

提案手法

• ホログラフィック双対は、$ K3 \times \left( \frac{SL(2,\mathbb{R})_k}{U(1)} \times \frac{SU(2)_k}{U(1)} \right) / \mathbb{Z}_k $ として構成され、K3 上の二重スケーリング小ストリング理論をモデル化する。
• 第二ヘリシティスーパートレースは経路積分的手法により計算され、モジュラー不変ではあるが正則的でない関数が得られる。
• ハミルトニアン解析により、離散状態からの寄与が分離され、正則的ではあるが非モジュラーな結果が得られる。
• 経路積分とハミルトニアンの結果が一致することを示し、経路積分がハミルトニアンの正則的関数のモジュラー完備化を与えることを特定する。
• 計算におけるテータ関数の恒等式を扱うために、一般化されたリーマン・テータ関係および一般化されたアペル＝レルヒ和を導出し、用いる。
• 得られた重み 2 の混合モジュラー形式は、ADE ルート格子のべきであるニエーマー格子 $ X $ におけるアンブル・ムーンシャインのそれと比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コックスター数 $ k $ の ADE ルート格子を持つ K3 上の二重スケーリング小ストリング理論における BPS 基本ストリング状態は、どのようにモジュラー形式に組織化されるか？
• RQ2 経路積分およびハミルトニアン手法により計算された第二ヘリシティスーパートレースのモジュラー性質は何か？また、それらの結果どうしが関係するか？
• RQ3 ホログラフィック CFT から得られる重み 2 の混合モジュラー形式は、ADE ルートから構成されるニエーマー格子におけるアンブル・ムーンシャインのそれと一致するか？
• RQ4 計算から、一般化されたアペル＝レルヒ和やリーマン型テータ関数恒等式といった、新たな数学的構造はどのようなものか？
• RQ5 小ストリング理論から得られるモジュラー形式とアンブル・ムーンシャインのそれとの間の正確な定数因子は何か？

主な発見

• コックスター数 $ k $ の ADE ルート格子を持つ K3 上の二重スケーリング小ストリング理論の第二ヘリシティスーパートレースは、重み 2 の混合モジュラー形式を生じる。
• ハミルトニアン解析により、正則的だが非モジュラーな関数が得られ、これは混合モジュラー形式として特定される。
• 経路積分解析により、モジュラー不変だが正則的でない関数が得られ、これはハミルトニアン結果のモジュラー完備化である。
• 小ストリング理論から得られる混合モジュラー形式は、ADE ルート格子のべきであるニエーマー格子 $ X $ におけるアンブル・ムーンシャインのそれと、定数因子を除いて正確に一致する。この定数因子は明示的に計算されている。
• 解析により、アペル＝レルヒ和の一般化およびこれらの一般化されたテータ関数が従う新しいリーマン型関係が明らかになった。
• 全分配関数は、$ \widetilde{R5} $ から $ \widetilde{R16} $ までの一般化されたリーマン・テータ関係を満たし、計算の整合性に不可欠である。