[論文レビュー] Adelic line bundles on quasi-projective varieties

Xinyi Yuan, Shou-Wu Zhang|arXiv (Cornell University)|May 28, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 72被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限生成体上の射影的でない代数的多様体へとアデール的ラインバンド理論を拡張し、交差理論、体積、高さ、および等分布定理を確立する。有限生成体上のアーベル多様体に対して、標準的なネロン–ターティング高さを定義し、普遍的なホッジ指数定理と小点の等分布定理を証明し、算術幾何学における古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

In this book, we establish a theory of adelic line bundles over quasi-projective varieties over finitely generated fields. Besides definitions of adelic line bundles, we consider their intersection theory, volume theory, and height theory, and apply these to study heights of algebraic points of quasi-projective varieties.

研究の動機と目的

• 数体上の射影的多様体に対する Zhang のアデール的ラインバンド理論を、有限生成体上の射影的でない多様体へ一般化すること。
• 射影的でない多様体上のアデール的ラインバンドの交差理論および体積論を構築すること。
• 有限生成体上のアーベル多様体に対して、ネロン–ターティング高さを拡張し、標準的な高さを定義すること。
• 数体上の射影的でない多様体における小点の等分布定理を確立すること。
• Faltings や Hriljac の結果を一般化した、この一般化された設定における普遍的ホッジ指数定理を証明すること。

提案手法

• Berkovich の解析的空間と計量ラインバンドを用いて、有限生成体上の射影的でない多様体におけるアデール的ラインバンドを定義する。
• アデール的ラインバンドのデリーニュ対を構成し、その正定性とファンクターイリティを証明する。
• Berkovich の解析的化を用いて、アデール的除集合およびラインバンドを解析的空間上の計量ラインバンドとして解釈する。
• 制限された解析的空間および局所計量の理論を用いて、グローバルな交差数を定義する。
• $X \times_S J$ 上に、$[m]^*Q = mQ$ を満たす普遍的 $\rceil$-ラインバンド $Q$ を構成し、高さ関数を定義する。
• 高さペアリングを $\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$ で定義し、その2次性および整数性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成体上の射影的でない多様体において、アデール的ラインバンドはどのように定義され、その交差理論はどのように構築できるか？
• RQ2 有限生成基底体の場合に、アーベル多様体上のネロン–ターティング高さは拡張可能か？
• RQ3 この一般化された設定において、数体上の射影的でない多様体における小点の等分布定理は成立するか？
• RQ4 相対ジャコビアン上の次数0のラインバンドの高さペアリングの構造は何か？
• RQ5 高次元の基底に対して、アデール的ラインバンドの普遍的ホッジ指数定理を確立できるか？

主な発見

• 相対ジャコビアン上に、$\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$ を満たす標準的アデール的ラインバンド $\bar{M}_0$ が構成され、ネロン–ターティング高さが一般化される。
• 高さペアリングが $\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$ を満たし、$\bar{\frak{h}}$ が2次的かつ $\rceil\text{Pic}(S/k)_{\rceil,\text{nef}}$ 値をとることを証明する。
• $X \times_S J$ 上の普遍的ラインバンド $\bar{Q}$ は $[2]^*\bar{Q} = 2\bar{Q}$ を満たし、引き戻しによって高さペアリングを誘導する。
• ホッジ指数定理が一般化される：$p_{2*}\big\rangle\bar{Q},\bar{Q}\big\rangle = -\bar{\theta}$ in $\rceil\text{Pic}(J/k)_{\rceil}$。
• 小点の等分布定理が、数体上の射影的でない多様体に対して確立され、Szpiro–Ullmo–Zhang や Yuan の結果が拡張される。
• 高さペアリング $\bar{\frak{h}}$ が $\text{Pic}^0(X/S)$ 上で単射であり、$\rceil\text{Pic}(S/k)_{\rceil,\text{nef}}$ 値をとり、$\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$ を満たすことが示される。