[論文レビュー] Advanced Computer Algebra Algorithms for the Expansion of Feynman Integrals

Jakob Ablinger, S. Blümlein+2 more|DESY (CERN, DESY, Fermilab, IHEP, and SLAC)|Oct 5, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 34被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、$4+\varepsilon$次元における1つの質量と局所的演算子挿入を伴う2点フェルミオン積分のローラン級数展開を計算するための高度な代数計算アルゴリズムを提示する。多変数アームクヴィスト–ザイルバーガー法の強化版を用いた多重積分と、多重和のためのホノロミック差分体枠組みを組み合わせることで、メリン変数 $n$ における再帰関係を導出し、ネストされた和と積を用いた代数的に独立な表現として、$\varepsilon$-展開のすべての係数をコンactに表現可能にする。

ABSTRACT

Two-point Feynman parameter integrals, with at most one mass and containing local operator insertions in $4+\ep$-dimensional Minkowski space, can be transformed to multi-integrals or multi-sums over hyperexponential and/or hypergeometric functions depending on a discrete parameter $n$. Given such a specific representation, we utilize an enhanced version of the multivariate Almkvist--Zeilberger algorithm (for multi-integrals) and a common summation framework of the holonomic and difference field approach (for multi-sums) to calculate recurrence relations in $n$. Finally, solving the recurrence we can decide efficiently if the first coefficients of the Laurent series expansion of a given Feynman integral can be expressed in terms of indefinite nested sums and products; if yes, the all $n$ solution is returned in compact representations, i.e., no algebraic relations exist among the occurring sums and products.

研究の動機と目的

• 質量を有する2点フェルミオン積分のローラン級数展開を、自動的かつ記号計算可能な方法で開発すること。
• 超幾何関数および超指数関数的関数を含む多重和と多重積分を、コンパクトな表現に簡略化する課題に対処すること。
• 局所的演算子挿入を伴うフェルミオン積分の $\varepsilon$-展開におけるすべての係数を体系的に計算可能にする。
• 差分体理論を用いて、和と積の間の代数的関係を排除し、出力のコンパクト性を保証すること。
• 量子場の理論における高ループ次数計算に実用的である、完全に自動化された計算パイプラインを提供すること。

提案手法

• フェルミオンパラメータ積分を、離散的メリンパrameter $n$ に依存する超指数的および超幾何的関数の多重積分または多重和に変換する。
• 多重積分の $n$ における再帰関係を導出するために、強化された多変数アームクヴィスト–ザイルバーガー法を適用する。
• ホノロミック関数および差分体理論に基づく共通の和分フレームワークを用いて、多重和の再帰関係を計算する。
• 再帰関係を解くことで、$\varepsilon$ における完全なローラン級数展開が得られ、係数は不定ネスト和および積として表現される。
• 差分体理論を用いて、和と積の間の代数的関係を排除することで、出力のコンパクト性を保証する。
• MultiIntegrate, Rho, Sigma, HarmonicSums, EvaluateMultiSum などのカスタム Mathematica パッケージを用いて、アルゴリズムを完全に自動化して実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン積分に由来する多重積分および多重和の $\varepsilon$-展開に対して、再帰関係を効率的に導出できるか。
• RQ2 ローラン級数展開の係数を、コンパクトで代数的に独立なネストされた和および積の形で表現できるか。
• RQ3 多変数アームクヴィスト–ザイルバーガー法を、パrameter $n$ および $\varepsilon$ を含む多重積分に対応させるにはどのように拡張できるか。
• RQ4 複数のネストされた和と積を含む高次のループ図に対して、この手法の計算効率およびスケーラビリティはどの程度か。
• RQ5 この手法は完全に自動化可能であり、実用的な高ループ計算に向けた記号計算システムに統合可能か。

主な発見

• 本手法は、係数をネストされた和および積の代数的に独立な形でコンパクトに表現可能な、フェルミオン積分の $\varepsilon$-展開を高次の精度で効果的に計算可能である。
• アルゴリズムは、ネスト深さ7までをカバーする複雑な多重和を処理でき、1つの重いフェルミオン線と1つの質量のないフェルミオン線を有する3ループ図の評価でその有効性が実証された。
• 特定の3ループ図に対して、$\varepsilon$-展開の定数項が、$n$ の有理関数と、$S_1(n)$, $S_2(n)$, $S_3(n)$, $S_{-2}(n)$, $S_{-3}(n)$, $S_{2,1}(n)$, $S_{-2,1}(n)$ および $\zeta_2$ を含むハーモニック和の組み合わせとして計算された。
• 差分体理論による保証により、最終的な表現において和と積の間の代数的関係が存在しないことが保証された。
• Sigma, HarmonicSums, EvaluateMultiSum などの Mathematica パッケージへの実装により、複雑な積分の $\varepsilon$-展開を完全に自動化して計算可能となった。
• 本手法により、既知の関数的関係を用いて、メリン空間の結果を複素数 $n$ へ解析接続することが可能となった。