[論文レビュー] Affine Coxeter Extensions of the Two-Holed Projective Plane

William M. Goldman, Gregory Laun|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、二つの穴あき射影平面（クロス表面）の基本群のコクセター拡張に対する適切なアフィン作用を分類し、適切なアフィン変形がクロイク型基本領域をもつ空間が、射影空間内に内接する四角形に内接する六角形をなすことを示している。また、クロイク型基本領域をもたない適切な作用の存在を示し、従来の可定向な双曲的曲面への結果を非可定向な双曲的曲面へと拡張している。

ABSTRACT

A Margulis spacetime is a complete flat affine Lorentzian 3-manifold with free fundamental group. Associated to $M$ is a noncompact complete hyperbolic surface $Σ$. We study double extensions of $π_1 (M) \cong π_1 (Σ)$ when $Σ$ is homeomorphic to a projective plane minus two discs. We classify proper actions of this double extension on Minkowski space and show that there exist proper actions that do not admit crooked fundamental domains.

研究の動機と目的

• 二つの穴あき射影平面の基本群のコクセター拡張に対する適切なアフィン作用を分類すること。
• 非コンパクトな双曲的曲面（二つの穴あきクロス表面に同相）を二重被覆するマーガリス時空間を持つアフィンオーロリズムを研究すること。
• クロイク型基本領域の理論を非可定向な双曲的曲面へと拡張すること。
• このような群の適切なアフィン変形が、クロイク型基本領域をもつかどうかを特定すること。

提案手法

• 二つの穴あき射影平面の超理想三角形分割を用いて、クロイク平面の配置を構成する。
• 超理想三角形分割の理論を適用し、固定された理想三角形分割に対する変形空間をパrameter化する。
• フリップグラフを用いて、理想三角形分割の変更に伴う変形空間の変化を記述する。
• アーク複体をフリップグラフの双対として用い、変形空間の全体を記述する。
• 三角形基本領域の第三辺のホモトピー類に対応する測地線代表元をθでパラメータ表示する。
• 変形空間を射影化し、RP²におけるクロイク型基本領域の幾何を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター拡張された二つの穴あき射影平面の基本群のすべての適切なアフィン変形が、クロイク型基本領域をもつか。
• RQ2 クロイク型基本領域をもつ適切なアフィン変形の空間は、オーロリズム商曲面における双曲的構造の空間とどのように関係するか。
• RQ3 このような変形に対する射影化されたクロイク型基本領域の空間の幾何的形状は何か。
• RQ4 クロイク型基本領域をもたない適切なアフィン変形は存在するか。もし存在するならば、どのように特徴づけられるか。
• RQ5 測地線代表元θを変化させることで、変形空間の構造はどのように変化するか。

主な発見

• 固定されたθに対する、クロイク型基本領域をもつ適切なアフィン変形の空間は、オーロリズム商曲面における双曲的構造のモジュライ空間の上にある六角形の錐である。
• この錐は射影化され、指数2の自由群に対するクロイク型基本領域の射影化された空間をパラメータづける四角形Qに内接する六角形Hとなる。
• 測地線代表元θを変化させると、六角形ではなく八角形になる。これは2つの頂点が区間に置き換えられるためである。
• クロイク型基本領域をもたない適切なアフィン変形が存在し、これはQ ∖ H内の点に対応する。
• 変形行列による正の象限の像は、四角形Qに内接する五角形P₁に射影され、頂点が上部に対応するランク1行列M₃に対応する。
• 別の配置から得られる第二の五角形P₂があり、P₁と重なり合う部分に小さい四角形Q_smallをなす。これにより、変形空間の幾何的構造が確認される。