[論文レビュー] Affine Deligne-Lusztig varieties at infinite level

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$\operatorname{GL}_n$ の内部形式における無限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体とルスツィグの半無限デリーニュ–ルスツィグ構成との間に同型を確立し、そのホモロジーが、非分岐拡大からの誘導される超臨界表現における局所ラングランズ対応およびジャケット–ラングランズ対応を実現することを証明する。これは、1979年にルスツィグが提起した超臨界性および代数幾何的構造に関する予想を解決する。

ABSTRACT

We initiate the study of affine Deligne-Lusztig varieties with arbitrarily deep level structure for general reductive groups over local fields. We prove that for GLn and its inner forms, Lusztig's semi-infinite Deligne-Lusztig construction is isomorphic to an affine Deligne-Lusztig variety at infinite level. We prove that their homology groups give geometric realizations of the local Langlands and Jacquet--Langlands correspondences in the setting that the Weil parameter is induced from a character of an unramified field extension. In particular, we resolve Lusztig's 1979 conjecture in this setting for minimal admissible characters.

研究の動機と目的

• ルスツィグの半無限デリーニュ–ルスツィグ構成と、$\operatorname{GL}_n$ の内部形式における無限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体との間に同型を確立すること。
• 非分岐体拡大から生じる超臨界表現における局所ラングランズ対応の幾何的実現を提供すること。
• 無限レベル多様体のホモロジーを用いてジャケット–ラングランズ対応を幾何的に拡張すること。
• 最小的アデリック特性に対して、ルスツィグの1979年の予想における代数幾何的構造および超臨界性を解決すること。

提案手法

• 半無限デリーニュ–ルスツィグ集合と有限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体の逆極限との間に明示的な同型を構成すること。
• 有限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体の既知のスキーム構造を用いて、半無限側に対しても自然なスキーム構造を定義すること。
• 再帰的群の有限環上での再帰的部分群に由来しないパラホリック部分群の商へのルスツィグのキャラクター法を一般化し、超臨界性を証明すること。
• デリーニュ–ルスツィグの固定点公式を用いて、最大の非分岐楕円的トーラス上でキャラクターを計算すること。
• ヘニアルトの自動表現の特徴付けを用いて、幾何的表現とラングランズパラメータを一致させること。
• マッキーの基準およびパラホリック部分群への制限を用いて、ホモロジー空間の消滅を示し、表現の既約性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルスツィグの半無限デリーニュ–ルスツィグ構成は、$\operatorname{GL}_n$ の内部形式における無限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体と同型であるか？
• RQ2 無限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体のホモロジーは、非分岐体拡大から生じる超臨界表現における局所ラングランズ対応を幾何的に実現するか？
• RQ3 最小的アデリック特性の場合に、この構成はジャケット–ラングランズ対応を実現するか？
• RQ4 この同型を通じて、半無限デリーニュ–ルスツィグ集合は自然なスキーム構造を備えているか？
• RQ5 この構成から生じる表現は、ルスツィグの1979年の予想が予測するように既約かつ超臨界的であるか？

主な発見

• すべての $\operatorname{GL}_n$ の内部形式について、半無限デリーニュ–ルスツィグ集合は、有限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体の逆極限と同型である。
• 無限レベル多様体は、有限レベルのアフィン・デリーニュ–ルスツィグ多様体から自然なスキーム構造を引き継ぎ、ルスツィグの代数幾何的予想を解決する。
• 無限レベル多様体のホモロジー群は、非分岐体拡大から誘導される超臨界表現における局所ラングランズ対応を実現する。
• 最小的アデリック特性に対して、この構成はジャケット–ラングランズ対応の幾何的実現を提供する。
• 表現 $|R_T^G(\theta)|$ は $\theta \in \mathscr{X}^{\rm min}$ に対して既約であり、ルスツィグの予想における超臨界性を確認する。
• 既約性の証明は、パラホリック部分群への制限を用いて、$\operatorname{Hom}_{\gamma ZG_{\mathcal{O}} \gamma^{-1} \cap ZG_{\mathcal{O}}}( |R_T^G(\theta)|, {}^\gamma|R_T^G(\theta)| ) = 0$ を示すことにより行われる。