[論文レビュー] Geometric realization of special cases of local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences

Mitya Boyarchenko, Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体の非分岐拡張の特定のクラスの特徴に対して、局所LanglandsおよびJacquet-Langlands対応から生じる超臨界表現の幾何的構成を与える。Lubin-Tate塔内のアフィノイド部分空間を用いることで、有限体上のWeil表現に依存せずに$GL_n(F)$および$D^\times$-表現を構成し、最小適応的状況におけるこれらの対応の証明を単純化・洗練する。

ABSTRACT

Let F be a non-Archimedean local field and let E be an unramified extension of F of degree n>1. To each sufficiently generic multiplicative character of E (the details are explained in the body of the paper) one can associate an irreducible n-dimensional representation of the Weil group W_F of F, which corresponds to an irreducible supercuspidal representation π of GL_n(F) via the local Langlands correspondence. In turn, via the Jacquet-Langlands correspondence, π corresponds to an irreducible representation ρ of the multiplicative group of the central division algebra over F with invariant 1/n. In this note we give a new geometric construction of the representations π and ρ, which is simpler than the existing algebraic approaches (in particular, the use of the Weil representation over finite fields is eliminated).

研究の動機と目的

• $F$ 上の中心的除法代数$D$ で不変量$1/n$ を持つものに対して、$GL_n(F)$ の非可約超臨界表現およびそれに対応する$D^\times$-表現の明示的幾何的構成を提供すること。
• 有限体上のWeil表現を避けることで、最小適応的状況における局所LanglandsおよびJacquet-Langlands対応の証明を単純化すること。
• 新規の$p$-進表現論の研究者を対象にした教育的リソースとして機能する、自己完結的で詳細な解説を提供すること。

提案手法

• 構成は、第二著者が導入した局所体$F$ のLubin-Tate塔に基づく幾何的枠組みに依存する。
• $GL_n(F)$ のコンパクト開部分群$J$ とその部分群$J_+$ を定義し、商$J/J_+$ がユニポテンツ群$U(\bar{\bbF}_{q^n})$ と同一視される。
• $D^\times$-表現$\rho$ は、$H^{n-1}_c(X \times \bar{\bbF}_q, \bar{\bbQ}_\bl)$ に特徴$\theta$ によるねじれを加えたコホロジー表現からのプルバックによって構成される。ここで$\theta$ はレベル$r_0 \geq 2$ の特徴である。
• 特徴$\theta$ は$E^\times \ltimes J$ 上の表現に拡張され、$E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 上の表現$\theta \otimes \sigma_0$ に下方へ降下し、その後誘導により$GL_n(F)$ の超臨界表現$\pi$ を得る。
• 無限性の証明は、相互作用性の性質と、任意の相互作用子がレベル$r_0$ 構造を保存しなければならないことにより、コンパクト開部分群の正規化群の制御に依存する。
• Weil表現を用いずに、Lubin-Tate塔からの幾何的データを用いることで、従来の代数的アプローチよりもより直接的かつ洗練された証明が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル$r_0 \geq 2$ の特徴$\theta$ を持つ最小適応的対$(E^\times, \theta)$ に対して、局所Langlands対応をどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 有限体上のWeil表現に依存せずに、Jacquet-Langlands対応を明示的に構成できるか？
• RQ3 Lubin-Tate塔におけるアフィノイド部分空間は、$GL_n(F)$ および$D^\times$-超臨界表現の実現において果たす役割は何か？
• RQ4 幾何的構成は、標準的な代数的証明における局所LanglandsおよびJacquet-Langlands対応をどのように単純化するか？

主な発見

• $\pi = \operatorname{Ind}_{E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G}^{GL_n(F)}(\sigma)$ は、コンパクト開部分群からの幾何的誘導によって得られる$GL_n(F)$ の非可約超臨界表現である。
• $D^\times$-表現$\rho$ は、Lubin-Tate塔内の適切なアフィノイド部分多様体のコホロジーからのプルバックとして構成され、Jacquet-Langlands対応において$\pi$ に対応する。
• レベル$r_0 \geq 2$ で${\rm Gal}(E/F)$-安定化子が自明な$E^\times$ の特徴$\theta$ は、$\mathcal{W}_E$ からの誘導により、Weil群$\mathcal{W}_F$ の滑らかで非可約な$n$ 次元表現$\sigma_\theta$ を与える。
• 表現$\sigma$ が$E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 上に作用するとき、$\operatorname{tr}\sigma(x) = (-1)^{n-1} \cdot \theta(x)$ が非常に正規な$x \in \mathcal{O}_E^\times$ に対して成り立ち、期待される特性関係が確認される。
• 有限体上のWeil表現を用いずに、最小状況における対応の証明をより幾何的かつ洗練された形で提供する。
• $GL_n(F)$ 内のコンパクト開部分群$E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ の正規化群が自身に等しいことが示され、標準的な相互作用の議論により誘導表現$\pi$ の非可約性が保証される。