[論文レビュー] Affine Kac-Moody algebras, integrable systems and their deformations

Edward Frenkel|ArXiv.org|May 15, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、臨界レベルにおけるアフィンカク＝ムーディ代数、KdV階層などの可積分系、およびそれらの量子的・古典的${\mathcal{W}}$代数への変形の深い関係を調査する。$q$-特徴写像と変形${\mathcal{W}}$代数${\mathcal{W}}_{q,t}({\mathfrak{g}})$を導入し、これらが転送行列の2次量子化および$q$-ミウラ変換を通じて生じることを示し、統計力学および幾何学的ラングランズプログラムへの応用を含む。

ABSTRACT

This is the text of the Hermann Weyl Prize lecture given by the author at the XXIV Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Paris, July 2002 (to appear in the Proceedings of the Colloquium).

研究の動機と目的

• アフィンカク＝ムーディ代数が臨界レベルにあって、KdV や mKdV 階層などの可積分階層のハミルトニアン構造をどのように記述するかを理解すること。
• 転送行列の2次量子化を通じて、これらの構造が$q$-変形古典的および量子${\mathcal{W}}$代数へと変形されることを記述すること。
• $q$-特徴写像を、量子アフィン代数から転送行列の可換代数へと結ぶポアソン写像（$q$-ミウラ変換）として確立すること。
• これらの代数的構造が統計力学における可積分モデルおよび幾何学的ラングランズ対応とどのように関連するかを示すこと。

提案手法

• 固定された不変内積$\kappa$を用いた残留ペアリングにより、${\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}((t))$の中心拡大としてアフィンカク＝ムーディ代数$\widehat{{\mathfrak{g}}}_{\kappa}$を構成する。
• 滑らかな表現に作用する普遍包あらたな代数の完成化$\widetilde{U}_{\kappa}(\widehat{{\mathfrak{g}}})$を定義し、$K$が恒等写像として作用することを保証する。
• $\mathfrak{g}$-オペルを、ボレル部分代数値の1階微分作用素のゲージ同値類として定義し、ドリンフェルド＝ソコロフ構成を一般化する。
• $q$-特徴写像$\chi_q: \operatorname{Rep} U_q(\widehat{{\mathfrak{g}}}) \to \mathbb{Z}[Y_{i,a}^{\pm 1}]$を用いて、量子スピンチェーンにおける転送行列の固有値を符号化する。
• $q$-ミウラ変換を適用し、ヘイゼンベルク生成子を通じて自由場実現により$q$-変形${\mathcal{W}}$代数を実現する。
• $f(z)$-依存構造定数および$q$-変形オペレーター乗算関係（OPE）におけるデルタ関数を含む非可換関係を通じて、変形バーラソロ代数$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{sl}_2)$を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界レベルにおけるアフィンカク＝ムーディ代数は、KdVおよび修正KdV階層のハミルトニアン構造をどのように符号化するか？
• RQ2 $q$-特徴写像は、量子アフィン代数と転送行列の可換代数との関係をどのように果たすか？
• RQ3 $q$-ミウラ変換は、転送行列の量子代数から可換代数への$\mathcal{W}$-代数へのポアソン写像としてどのように実現されるか？
• RQ4 2パラメータ変形${\mathcal{W}}$-代数$\mathcal{W}_{q,t}({\mathfrak{g}})$の幾何学的・物理的意味は何か、可積分系および統計力学における役割は？
• RQ5 オペル理論および量子群を通じて、これらの構造は幾何学的ラングランズ対応とどのように関連するか？

主な発見

• $q$-特徴写像$\chi_q$は、$U_q(\widehat{{\mathfrak{g}}})$の表現から変数$Y_{i,a}^{\pm 1}$における多項式環への写像であり、その像はスクリーニング作用素の核の共通部分集合に等しい。
• $q$-特徴写像はポアソン写像であり、$q$-ミウラ変換として実現され、転送行列の量子代数と$q$-変形${\mathcal{W}}$-代数の可換代数との間の関係を確立する。
• 変形${\mathcal{W}}$-代数$\mathcal{W}_{q,t}({\mathfrak{g}})$は、$q$-変形古典${\mathcal{W}}$-代数の2次量子化として生じ、$t \to 1$で古典的極限が回復される。
• $\mathfrak{sl}_2$に対して、変形バーラソロ代数$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{sl}_2)$の生成子$T_n$は、$f(z)$-依存構造関数およびデルタ関数項を含む$q$-変形OPEを満たす。
• 自由場実現$T(z) = {\mathbf{:}}\Lambda(z){\mathbf{:}} + {\mathbf{:}}\Lambda(zq^2t^2)^{-1}{\mathbf{:}}$は、変形バーラソロ代数のボソン実現を提供する。
• 変形${\mathcal{W}}$-代数は、統計力学における可積分モデルの動的対称性代数として機能し、共形場理論の対称性を一般化する。