[論文レビュー] Affine processes on positive semidefinite d x d matrices have jumps of finite variation in dimension d > 1

Eberhard Mayerhofer|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$d > 1$ に対して $d \times d$ 正定値行列の錐上でのアフィン過程が、無限の総変動を示すジャンプを有しないことを証明する—これは先行研究における予想を解決するものである。この結果は、正定値錐の境界に由来する幾何的制約に起因し、境界に対して横断的なジャンプは有限変動に制限される。これにより、簡略化された半マルティンゲール分解が可能となり、非退化拡散下でのフーリエ・ラプラス変換の指数的アフィン性が確立され、1次元の場合を越えたアフィン枠組みの拡張が達成される。

ABSTRACT

The theory of affine processes on the space of positive semidefinite d x d matrices has been established in a joint work with Cuchiero, Filipovi\'c and Teichmann (2011). We confirm the conjecture stated therein that in dimension d greater than 1 this process class does not exhibit jumps of infinite total variation. This constitutes a geometric phenomenon which is in contrast to the situation on the positive real line (Kawazu and Watanabe, 1974). As an application we prove that the exponentially affine property of the Laplace transform carries over to the Fourier-Laplace transform if the diffusion coefficient is zero or invertible.

研究の動機と目的

• $d > 1$ に対して $S^+_d$ 上のアフィン過程が無限の総変動を示すジャンプを有さないという予想を解決すること。
• 截断関数に依存しないように、$S^+_d$ 上のアフィン過程の半マルティンゲール分解を簡略化すること。
• 拡散係数がゼロまたは正則の場合に、アフィン過程のフーリエ・ラプラス変換の指数的アフィン性を確立すること。
• 高次元における境界 $\partial S^+_d$ の構造に起因するジャンプ行動に関する幾何的制約を明確にすること。

提案手法

• Cuchiero ら（2011）のパラメータ化を用いて、$S^+_d$ 上のアフィン過程の無限小生成作用素を分析し、ジャンプおよび拡散成分に注目する。
• 特に横断的ジャンプ行動に注目し、境界 $\partial S^+_d$ の構造を介してジャンプ測度に幾何的制約を導出する。
• $\partial S^+_d$ に対して横断的な方向のジャンプは、有限変動に制限され、補正項に対するより強い可積分性条件が得られる。
• ラプラス変換を記述するリッカティ方程式を扱うために、行列解析および常微分方程式の収束理論を用いた事前推定を適用する。
• 複素行列を含むトレース表現の実部を制御するための行列不等式（例：補題 B.1）を用いる。これはフーリエ・ラプラス変換の有界性を保証する上で重要である。
• ODE 解のコンパクト性および収束に関する議論（補題 A.1 および A.2）を用いて、近似過程の極限挙動を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d > 1$ に対して $S^+_d$ 上のアフィン過程は、1次元の場合と同様に無限の総変動を示すジャンプを有するか？
• RQ2 高次元における境界 $\partial S^+_d$ の幾何的制約は、許容されるジャンプの性質をどのように制限するか？
• RQ3 截断関数への依存を排除することで、$S^+_d$ 上のアフィン過程の半マルティンゲール分解を簡略化できるか？
• RQ4 拡散係数が非退化である場合、ラプラス変換の指数的アフィン性がフーリエ・ラプラス変換へと拡張可能か？

主な発見

• $d > 1$ に対して $S^+_d$ 上のアフィン過程は、Cuchiero ら（2011）の予想に従い、無限の総変動を示すジャンプを有さないことが確認された。
• $S^+_d$ の境界幾何は、横断的ジャンプを有限変動に制限する。これは1次元の場合に存在しない重要な幾何的制約である。
• 截断関数に依存しないアフィン過程の許容可能なパrameter集合が新たに定式化可能となり、理論の簡略化が達成された。
• 保守的アフィン過程の $S^+_d$ 上での半マルティンゲール分解が簡略化され、有限変動ジャンプに起因する補正項がより強い可積分性条件を満たす。
• 非退化拡散係数の場合、$S^+_d$ 上のアフィン過程のフーリエ・ラプラス変換は、状態変数に関して指数的アフィン的である。これは、特性関数へのアフィン性の拡張を示している。
• 特定のパラメトリック仮定の下で、拡散係数が退化であっても、行列変量アフィンジャンプ・ディファッション過程（MBAJD）のリッカティ方程式に対して明示的解が導出された。