[論文レビュー] Affine processes on positive semidefinite matrices

Christa Cuchiero, Damir Filipovi 'c+2 more|RePEc: Research Papers in Economics|Oct 1, 2009

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正定値行列の錐上での確率的連続なアフィン過程の数学的基盤を確立し、このような過程が必然的にフェラー過程であり、許容可能なパラメータを持つアフィン生成子を持つことを証明する。主な貢献は、このような過程の完全な特徴付けであり、任意の許容可能なパrameterセットに対して存在と一意性を示し、パラメータと特徴関数を記述する一般化されたリッカチ方程式の解との間の一対一対応を確立する。

ABSTRACT

This article provides the mathematical foundation for stochastically continuous affine processes on the cone of positive semidefinite symmetric matrices. This analysis has been motivated by a large and growing use of matrix-valued affine processes in finance, including multi-asset option pricing with stochastic volatility and correlation structures, and fixed-income models with stochastically correlated risk factors and default intensities.

研究の動機と目的

• 正定値対称行列の錐上でのアフィン過程の厳密な数学的基盤を提供すること。
• ストキャスティック・ボラティリティと相関を伴うマルチアセット・オプション・プライシングにおける扱いやすいモデルの必要性に対処すること。
• ワイシャルト過程などの既存モデルを一般化し、ドリフト、拡散、ジャンプ成分の完全な一般性を許容すること。
• このような過程の存在および一意性の必要十分条件を確立すること。
• 正定値錐上での確率的連続かつ無限に分解可能なマルコフ過程が、すべてゼロの拡散を持つアフィン過程であることを示し、逆も成り立つことを証明すること。

提案手法

• 著者らは、アフィン過程を、時間に依存しない、確率的連続なマルコフ過程として定義し、その生成子がアフィン的であることを前提とする。
• 過程が $ S_d^+ $ に留まるための生成子の係数（ドリフト、拡散、キリング、ジャンプ成分）に関する必要十分条件を導出する。
• この手法は、アフィン変換公式から導かれる特徴関数の一般化されたリッカチ微分方程式を解くことに依存する。
• 存在性の証明にはマーティングレイル問題のアプローチが用いられ、ジャンプ・ドリフト過程の近似による代替的構成も用いられる。
• 重要な技術的道具として、$ S_d^+ $ 上の急速減少関数の空間 $ \mathcal{S} $ が用いられ、$ S_d^+ $ に台を持つ測度のラプラス変換に関する密度結果が活用される。
• 主要結果の証明には、ブロス–エプスタイン–グラーザーの定理が用いられ、ラプラス変換が恒等的にゼロであれば測度もゼロであることを示し、解の一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存しないマルコフ過程が $ S_d^+ $ 上でアフィン的かつ確率的連続であるための生成子係数に関する必要十分条件は何か？
• RQ2 行列値過程におけるアフィン変換公式はどのように特徴付けられるか？ その解を記述するODE系は何か？
• RQ3 どのパrameter条件下で、$ S_d^+ $ 上に一意なアフィン過程が存在するか？ これはフェラー性質とどのように関係するか？
• RQ4 すべての確率的連続かつ無限に分解可能なマルコフ過程が、ゼロの拡散を持つアフィン過程として特徴付けられるか？
• RQ5 生成子のパラメータと一般化されたリッカチ方程式の解との間の正確な関係は何か？

主な発見

• すべての確率的連続なアフィン過程は、$ S_d^+ $ 上で必然的にフェラー過程であり、アフィン生成子を持つため、強いマルコフ性およびフェラー連続性の性質を保証する。
• 任意の許容可能なパラメータセット（一般のドリフト、拡散、ジャンプ成分を含む）に対して、$ S_d^+ $ 上の対応するSDEに対して一意な強い解が存在し、モデルの適切な定式化が保証される。
• 過程の特徴関数はアフィン変換公式を満たし、モーメント母関数は一般化されたリッカチODE系を解く。
• パrameter空間は、許容性条件によって完全に特徴付けられており、ドリフト行列に関して $ b - (d-1)\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T \in S_d^+ $ を満たすことが要請される。
• 確率的連続かつ無限に分解可能なマルコフ過程のクラスは、正確にゼロの拡散を持つアフィン過程のクラスに一致する。
• 任意の $ S_d^+ $ 上の測度のラプラス変換は、集合 $ \{ \exp(-\langle u, \cdot \rangle) \}_{u \in S_d^{++}} $ 上での値によって一意に決定され、これは過程の分布の一意性を保証する。