[論文レビュー] Affine Schubert calculus and double coinvariants

Erik Carlsson, Alexei Oblomkov|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2018

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ひとこと要約

本稿は、A型アフィンフラッグ多様体の等化Borel-Mooreホモロジー上に、二重コインヴァリアント代数 $DR_n$ の作用を構成し、それがアフィンスプリンガー層のホモロジーを保存することを示す。$n$ の組み合わせによってインデックス付けられた $DR_n$ 上のフィルトレーションを確立し、その部分商がシューベルト類を用いて単一変数コインヴァリアント代数の部分加群と同型であることを示す。これにより、ハグランド＝ローラーの公式を一般化する明示的な単項式基底が得られ、その双重重み付きヒルベルト級数についての独立的な証明が与えられる。

ABSTRACT

We define an action of the double coinvariant algebra $DR_n$ on the equivariant Borel-Moore homology of the affine flag variety $\widetilde{Fl}_n$ in type $A$, which has an explicit form in terms of the left and right action of the (extended) affine Weyl group and multiplication by Chern classes. Up to first order in the augmentation ideal, we show that it coincides with the action of the Cherednik algebra on the equivariant homology of the homogeneous affine Springer fiber $\widetilde{S}_{n,m} \subset \widetilde{Fl}_n$ due to Yun and the second author, and therefore preserves the non-equivariant Borel-Moore homology groups $H_*(\widetilde{S}_{n,m})\hookrightarrow H_*(\widetilde{Fl}_n)$. We then define a geometric filtration $F_{a} H_*(\widetilde{S}_{n,n+1})=H_*(\widetilde{S}(a))$ by closed subspaces $\widetilde{S}(a)\subset \widetilde{S}_{n,n+1}$, which we prove recovers the Garsia-Stanton descent order on $DR_n$. We use this to deduce an explicit monomial basis of $DR_n$, as well as an independent proof of the (non-compositional) Shuffle Theorem.

研究の動機と目的

• A型アフィンフラッグ多様体 $\tilde{\mathcal{F}l}_n$ の等化Borel-Mooreホモロジー上に、二重コインヴァリアント代数 $DR_n$ の幾何的作用を定義すること。
• この作用がアフィンスプリンガー層 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$ のホモロジーを保存することを示し、特に $m = n+1$ の場合に $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}) \cong DR_n$ であることを示すこと。
• $n$ の組み合わせによってインデックス付けられた $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-部分加群としての $DR_n$ 上のフィルトレーションを定義し、その先頭項が $y$ 変数におけるガリア・スタントンの降下単項式によって与えられること。
• Goresky-Kottwitz-MacPherson のシューベルト類を用いて、このフィルトレーションの部分商を、単一変数コインヴァリアント代数 $R_n(\mathbf{x})$ の部分加群として明示的に同定すること。
• ハグランド＝ローラーの公式を一般化する $DR_n$ の明示的な単項式基底を構成し、その双重重み付きヒルベルト級数が既存の結果に依存せずに独立に証明されること。

提案手法

• $DR_n$ の $H_*(\tilde{\mathcal{F}l}_n)$ 上の作用は、$x$ 変数に対する双対チャーン類作用素と、$y$ 変数に対する拡張アフィンワイル群の左/右作用を用いて定義される。
• この作用が、増分イデアルの1次まで、$H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,m})$ 上のチェレドニク代数作用と一致することを示し、これによりアフィンスプリンガー層のホモロジーが保存されることを保証する。
• $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-部分加群としてのフィルトレーション $F_a DR_n$ を、$b \leq_{\text{des}} a$ を満たす単項式 $y^b$ によって生成されるものとして定義する。ここで $\leq_{\text{des}}$ は降下集合に基づく全順序である。
• 部分商 $F_a DR_n / F_{a-1} DR_n$ は、組み合わせ $a$ に依存する明示的生成元を用いて、$R_n(\mathbf{x})$ の部分加群と同定される。
• Goresky-Kottwitz-MacPherson による $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1})$ 内のシューベルト類の記述を用いて、部分商と対応する $R_n(\mathbf{x})$ の部分加群との同型を確立し、明示的な単項式基底が得られる。
• 部分商のヒルベルト級数を明示的に計算することで、$DR_n$ の双重重み付きヒルベルト級数が独立に証明され、ハグランド＝ローラーの公式と一致することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重コインヴァリアント代数 $DR_n$ は、A型アフィンフラッグ多様体の等化ホモロジー上にどのように幾何的に実現可能か？
• RQ2 この作用はアフィンスプリンガー層 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$ のホモロジーを保存するか？ もしそうならば、$m = n+1$ の場合の構造は何か？
• RQ3 $DR_n$ 上に、その部分商が単一変数コインヴァリアント代数 $R_n(\mathbf{x})$ の部分加群と同型となるようなフィルトレーションを定義できるか？ そしてシューベルト類はこの構成において果たす役割は何か？
• RQ4 ハグランド＝ローラーの公式を一般化する $DR_n$ の単項式基底は存在するか？ その基底は、既存の結果に依存せずに構成可能か？
• RQ5 $DR_n$ の $y$ 変数の重み付けは、アフィンスプリンガー層におけるヒキタの統計量とどのように関係するか？ そして、この関係を明示的に示せるか？

主な発見

• 二重コインヴァリアント代数 $DR_n$ は、A型アフィンフラッグ多様体 $\tilde{\mathcal{F}l}_n$ の等化Borel-Mooreホモロジー上に作用し、この作用はすべての $m$ に対してアフィンスプリンガー層 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$ のホモロジーを保存する。
• $m = n+1$ の場合、$DR_n$ の元を基本類 $[\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}]$ に作用させることで、$H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}) \cong DR_n$ である同型が誘導される。
• $n$ の組み合わせ $a$ によってインデックス付けられた $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-部分加群としてのフィルトレーション $F_a DR_n$ が定義され、その先頭項は $y$ 変数におけるガリア・スタントンの降下単項式 $g_\tau(y)$ であり、これらは単一コインヴァリアント代数 $R_n(\mathbf{y})$ の基底をなすことが知られている。
• $F_a DR_n / F_{a-1} DR_n$ の部分商は、組み合わせ $a$ に依存する明示的生成元を用いて、単一変数コインヴァリアント代数 $R_n(\mathbf{x})$ のある部分加群と同型であり、これらの部分加群は $x$ 変数における明示的な単項式基底をもつ。
• 部分商のヒルベルト級数が明示的に計算され、これにより $DR_n$ の双重重み付きヒルベルト級数が独立に証明され、ハグランド＝ローラーの公式 $\sum_{\pi \in PF_n} q^{\operatorname{dinv}(\pi)} t^{\operatorname{area}(\pi)}$ と一致することが確認される。
• 長年の課題であった、$DR_n$ の $y$ 変数の重み付けとアフィンスプリンガー層におけるヒキタの統計量との関係が、この構成によって解決され、$y$-重み付けがシューベルト＝スプリンガー類分解におけるホモロジー次元に対応することが明示的に示された。