[論文レビュー] Algebraic characterisations of negatively-curved special groups and applications to graph braid groups

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ほぼ特別群の研究のための組合せ的形式的体系を導入し、双曲性、準双曲性、相対的双曲性の代数的特徴づけを可能にする。群が $\mathbb{Z}^2$ を含まないときかつそのときに限り、ほぼ特別群は双曲的であると証明している。また、2つの無限群の直積にほぼ分解しないときかつそのときに限り、ほぼ特別群は準双曲的である。さらに、すべての非巡回アーベル部分群を含む、適切な部分群の極小正規集合を許容するときかつそのときに限り、ほぼ特別群は相対的双曲的である。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a combinatorial formalism to study (virtually) special groups, introduced by Haglund and Wise. As a first application, we recover a result due to Caprace and Haglund: if the universal cover of a compact special cube complex X contains an $n$-dimensional flat, then $\pi_1(X)$ contains a subgroup isomorphic to $\mathbb{Z}^n$. This implies that a virtually special group is hyperbolic if and only if it does not contain $\mathbb{Z}^2$. As a second application, we characterise algebraically the acylindrical hyperbolicity of virtually special groups. More precisely, a virtually special group (which is not virtually cyclic) turns out to be acylindrically hyperbolic if and only if it does not virtually split as a direct product of two infinite groups if and only if it contains an infinite-order element whose centraliser is virtually cyclic. Finally, we prove that a special group is relatively hyperbolic if and only if it contains a finite collection of proper subgroups which is malnormal and such that any non cyclic abelian subgroup is included into a conjugate of some subgroup of this collection. As a consequence, it follows that a special group is hyperbolic relatively to abelian subgroups if and only if it does not contain $\mathbb{F}_2 imes \mathbb{Z}$. In the second part of this paper, applications of our formalism to graph braid groups are given.

研究の動機と目的

• ほぼ特別群を研究するための組合せ的形式的体系の開発。
• 特別な立方複体における平坦部分空間に関する位相的結果の回復と強化。
• ほぼ特別群における準双曲性と相対的双曲性のための代数的基準の提供。
• 形式的体系をグラフバーブ群に適用し、新たな構造的結果の確立。

提案手法

• ほぼ特別群の構造を符号化するための組合せ的形式的体系の導入。
• 形式的体系を用いて、普遍被覆における平坦部分空間を通じて $\mathbb{Z}^n$ 部分群の存在を特徴づける。
• 形式的体系を応用し、中心化子と分解の性質に基づいた準双曲性のための代数的条件を導出する。
• 非巡回アーベル部分群を含む極小正規部分群の集合を用いた相対的双曲性の基準を確立する。
• フレームワークをグラフバーブ群に適用し、部分群の包含関係と双曲性に基づく構造的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ特別群が $\mathbb{Z}^2$ 部分群を含むのはいつか、そしてこれはその双曲性にどのような意味を持つのか。
• RQ2 ほぼ特別群における準双曲性を特徴づける代数的条件は何か。
• RQ3 ほぼ特別群がアーベル部分群に関して相対的双曲的であるのはいつか。
• RQ4 組合せ的形式的体系をどのように用いて、グラフバーブ群における双曲性と相対的双曲性を特徴づけられるか。
• RQ5 極小正規部分群の集合とほぼ特別群の構造との関係は何か。

主な発見

• ほぼ特別群は、$\mathbb{Z}^2$ 部分群を含まないときかつそのときに限り、双曲的である。
• ほぼ特別群（非ほぼ巡回的）は、2つの無限群の直積にほぼ分解しないときかつそのときに限り、準双曲的である。
• ほぼ特別群は、無限位数の元の中心化子がほぼ巡回的であるときかつそのときに限り、準双曲的である。
• 特別群は、すべての非巡回アーベル部分群がその共役に含まれる有限極小正規部分群の集合を許容するときかつそのときに限り、相対的双曲的である。
• 特別群は、$\mathbb{F}_2 \rtimes \mathbb{Z}$ に同型な部分群を含まないときかつそのときに限り、アーベル部分群に関して双曲的である。