[論文レビュー] Algebraic Geometry over model categories (a general approach to derived algebraic geometry)

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|Oct 10, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、モデル圏を用いた導来代数幾何学の一般枠組みを導入し、対称モノイダルモデル圏上の幾何的スタックを定義する。モデル圏上のグロテンディーク位相を用いてスタックのホモトピー理論を確立し、複体上のDGスキームをスタックとして解釈し、$E_\infty$-環スペクトルのエタールK理論を定義する。

ABSTRACT

For a (semi-)model category M, we define a notion of a ''homotopy'' Grothendieck topology on M, as well as its associated model category of stacks. We use this to define a notion of geometric stack over a symmetric monoidal base model category; geometric stacks are the fundamental objects to "do algebraic geometry over model categories". We give two examples of applications of this formalism. The first one is the interpretation of DG-schemes as geometric stacks over the model category of complexes and the second one is a definition of etale K-theory of E_{\infty}-ring spectra. This first version is very preliminary and might be considered as a detailed research announcement. Some proofs, more details and more examples will be added in a forthcoming version.

研究の動機と目的

• 対称モノイダルモデル圏上の代数幾何学の一般理論を構築し、古典的スキームとスタックを導来設定に拡張すること。
• ホモトピーグロテンディーク位相を備えたモデル圏上のホモトピー層（スタック）として幾何的スタックを定義すること。
• 古典的対象（例えばDGスキームや$E_\infty$-代数）を導来幾何的文脈で統一的に解釈する枠組みを提供すること。
• スタック的形式的論理を用いて$E_\infty$-環スペクトルのエタールK理論を構成すること。
• $Π$-圏と$\infty$-圏をモデル圏構造を通じて用いた、導来代数幾何学プログラムの基盤を築くこと。

提案手法

• 半モデル圏におけるホモトピーグロテンディーク位相の概念を導入し、古典的位相をホモトピー的設定に一般化する。
• 単体的集合の前層の局所化モデル構造におけるファイブランス補修としてスタックのモデル圏を構成する。
• ヤオダ埋め込みを用いて形式的にホモトピー余極限を追加し、前層圏におけるホモトピー余極限によるアフィン対象の貼り合わせを可能にする。
• スペクトルにおける$E_\infty$-代数のモデル圏に形式的論理を適用し、K理論前層のファイブランス補修を通じてエタールK理論を定義する。
• ホモトピーハイパーカバーに関して有効な降下を満たすスタックとして幾何的スタックを定義し、古典的代数的スタックを一般化する。
• 強く双対可能なモジュールのワルドハウゼン圏のラクス前層を確立し、単体的集合値のK理論前層を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして対称モノイダルモデル圏上の導来版代数幾何学を定義できるか？
• RQ2 モデル圏とその位相が、関連するスタックの圏が良いホモトピー理論的幾何的対象として振る舞うために満たすべき条件は何か？
• RQ3 DGスキームは、複体のモデル圏上の幾何的スタックとして自然に解釈できるか？
• RQ4 ホモトピー代数とスタック的降下を用いて、$E_\infty$-環スペクトルのエタールK理論をどのように定義できるか？
• RQ5 この導来幾何的文脈において、強く双対可能なモジュールがK理論前層の構成に果たす役割は何か？

主な発見

• DGスキームは、非有界複体のモデル圏上の幾何的スタックとして実現され、古典的代数幾何学の導来的解釈が得られる。
• 対称モノイダルモデル圏上のスタックの圏は、ホモトピーハイパーカバーに関する降下を満たす、うまく整ったモデル構造を備える。
• スペクトルにおける$E_\infty$-代数上のK理論前層は、ワルドハウゼン圏へのラクス関手として構成され、単体的K理論空間が得られる。
• 環スペクトル$A$のエタールK理論は、エタール位相におけるK理論前層のファイブランス補修として定義され、自然な局所化準同型$\mathbb{K}(A) \to \mathbb{K}_{\text{et}}(A)$が得られる。
• $\mathbb{K}_{\text{et}}(A)$の構成は、形式的エタール性、有限提示性、および基底変換関手の保存性によって定義される$Sp^\Sigma_{\mathbb{U}}$-アフィンスキーム上の位相を通じて、well-definedであることが保証される。
• $E_\infty$-代数上のモジュールのホモトピー圏が閉じた対称モノイダル圏であることが示され、強く双対可能な対象の定義が可能となり、したがってうまく整ったK理論が得られる。