[論文レビュー] Homotopy Algebras for Operads

Tom Leinster|ArXiv.org|Feb 22, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、ファイブレーションや分解構造などの追加構造を必要とせず、任意のモノイダル圏にホモトピー同値の概念が備わっている場合に、その圏におけるオペラッドのホモトピー代数の一般定義を提示する。主な貢献は、$A_\infty$-空間、$A_\infty$-代数、ループ空間といったさまざまな緩められた代数的構造を、ホモトピー代数の特殊な例として統一的に扱える枠組みを提供することであり、ループ空間が自然にホモトピーモノイドであり、反復ループ空間が高次ホモトピーモノイドであることが示されている。

ABSTRACT

We present a definition of homotopy algebra for an operad, and explore its consequences. The paper should be accessible to topologists, category theorists, and anyone acquainted with operads. After a review of operads and monoidal categories, the definition of homotopy algebra is given. Specifically, suppose that M is a monoidal category in which it makes sense to talk about algebras for some operad P. Then our definition says what a homotopy P-algebra in M is, provided only that some of the morphisms in M have been marked out as `homotopy equivalences'. The bulk of the paper consists of examples of homotopy algebras. We show that any loop space is a homotopy monoid, and, in fact, that any n-fold loop space is an n-fold homotopy monoid in an appropriate sense. We try to compare weakened algebraic structures such as A_infinity-spaces, A_infinity-algebras and non-strict monoidal categories to our homotopy algebras, with varying degrees of success. We also prove results on `change of base', e.g. that the classifying space of a homotopy monoidal category is a homotopy topological monoid. Finally, we reflect on the advantages and disadvantages of our definition, and on how the definition really ought to be replaced by a more subtle infinity-categorical version.

研究の動機と目的

• 任意のホモトピー同値のクラスが指定されたモノイダル圏において、ファイブレーションやシリンダー、分解構造などを必要としない、カテゴリ的・一般的なオペラッドのホモトピー代数の定義を提供すること。
• ファイブレーションや分解構造を必要としない、$A_\infty$-空間、$A_\infty$-代数、非厳密モノイダル圏といった多様な緩められた代数的構造を、一つの概念的枠組みで統一すること。
• ループ空間と反復ループ空間が、特にホモトピーモノイドおよび高次ホモトピーモノイドとして、アソシエイティブ・オペラッドの自然なホモトピー代数として生じることを示すこと。
• ベースの変更に関する基礎的結果を確立し、たとえばホモトピーモノイダル圏の分類空間がホモトピー的位相モノイドであることを示すこと。
• 現在の定義の限界を批判的に検討し、高次整合性データを完全に捉えるために、より洗練された$\infty$-圏的置き換えの必要性を主張すること。

提案手法

• ファイブレーション、シリンダー、分解構造を一切必要とせず、モノイダル圏$\mathcal{M}$におけるホモトピー同値のデータのみを使って、オペラッド$P$上のホモトピー代数を定義する。
• 厳密な代数的公理を緩めることで定義を構成する：可換図式ではなく、指定されたホモトピー同値を介して可換となる。
• 豊密化圏論と多重圏論の理論を用いて、特に$\mathbf{Cat}$やモノイダル2圏における豊密化設定への一般化を図る。
• 自由モノイダル圏が、2圏的文脈におけるホモトピー代数を理解するための普遍的枠組みを提供することを示す。
• ループ空間をホモトピーモノイドとして、$A_\infty$-空間と$A_\infty$-代数をアソシエイティブ・オペラッドのホモトピー代数として扱う、主要な例に定義を適用する。
• 分類空間関手がホモトピーモノイダル構造を保存することを証明し、ホモトピーモノイダル圏の分類空間がホモトピー的位相モノイドであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブレーションや分解構造に依存せずに、一般のモノイダル圏におけるオペラッドのホモトピー代数をどのように定義できるか。
• RQ2 ループ空間と反復ループ空間が、なぜ自然にアソシエイティブ・オペラッドのホモトピー代数として現れるのか。
• RQ3 提案されたホモトピー代数の定義は、既存の概念（$A_\infty$-空間、$A_\infty$-代数、非厳密モノイダル圏）とどのように関係しているか。
• RQ4 特にホモトピーモノイダル圏とホモトピー的位相モノイドの関係において、ベースの変更の定義がどのような意味を持つのか。
• RQ5 なぜ現在の定義は不十分とされるのか。また、高次整合性データを完全に捉えるために$\infty$-圏的定義が提供する利点は何か。

主な発見

• 任意のループ空間は、ホモトピー同値を備えた位相空間の圏におけるホモトピーモノイドであり、任意の$n$重ループ空間は$n$重ホモトピーモノイドである。
• ホモトピーモノイダル圏の分類空間はホモトピー的位相モノイドである。これは、カテゴリ的および位相的ホモトピー代数の間の強い関係を確立する。
• アソシエイティブ・オペラッドのホモトピー代数としての$A_\infty$-空間と$A_\infty$-代数が、合成に関する任意の選択を必要とせずに、特殊な場合として捉えられる。
• この枠組みは、微分的可換代数（チェーンホモトピー同値を介して）、位相空間（ホモトピー同値を介して）、および圏（カテゴリカル同値を介して）にまで一般化可能である。
• 現在の定義は、$\infty$-圏的理論における1次元近似と見なされ、整合性法則が部分的にしか捉えられていない。
• 本論文は、「代数的」定義（選択された合成を含む）と「概念的」定義（合成が同値を除いて一意に定まる）の根本的な二分法を特定し、提案された定義は後者を支持している。