[論文レビュー] Algebraic localization implies exponential localization in non-periodic insulators

Jianfeng Lu, Kevin D. Stubbs|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元非周期的絶縁体において、フェルミ射影の正規直交基底が $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ のオーダーで代数的減衰を示すならば、指数的局在化を持つ基底が存在することを確立する。著者らはフェルミ射影に依存する自己共役位置演算子を構成し、十分な可積分性を示す代数的局在化が指数的局在化を意味することを証明することで、トポロジカル不変量に依存せずに非周期的系における局在化二分法予想を支持する。

ABSTRACT

Exponentially-localized Wannier functions are a basis of the Fermi projection of a Hamiltonian consisting of functions which decay exponentially fast in space. In two and three spatial dimensions, it is well understood for periodic insulators that exponentially-localized Wannier functions exist if and only if there exists an orthonormal basis for the Fermi projection with finite second moment (i.e. all basis elements satisfy $\int |\boldsymbol{x}|^2 |w(\boldsymbol{x})|^2 \, ext{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$). In this work, we establish a similar result for non-periodic insulators in two spatial dimensions. In particular, we prove that if there exists an orthonormal basis for the Fermi projection which satisfies $\int |\boldsymbol{x}|^{5 + ε} |w(\boldsymbol{x})|^2 \, ext{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$ for some $ε> 0$ then there also exists an orthonormal basis for the Fermi projection which decays exponentially fast in space. This result lends support to the Localization Dichotomy Conjecture for non-periodic systems recently proposed by Marcelli, Monaco, Moscolari, and Panati

研究の動機と目的

• トポロジカル不変量に依存しない非周期的絶縁体における代数的局在化と指数的局在化の関係を確立すること。
• 強い代数的減衰が指数的局在化を意味することを示すことにより、非周期的系における局在化二分法予想を支持すること。
• フェルミ射影の空間的局在化を捉えるために、特定に設計された自己共役位置演算子を構成すること。
• 対称性やトポロジカル仮定を除去することで、周期的系に限らない局在化-トポロジー対応を拡張すること。
• 不規則または非周期的材料におけるワナーマー関数の局在化を厳密に機能解析的枠組みで扱うこと。

提案手法

• 標準的位置演算子を近似するが、局所的に作用するフェルミ射影に依存する自己共役位置演算子 $\widehat{X}$ を構成する。
• 演算子 $\widehat{X}$ のスペクトル的性質を用いて、$P$ の像に属する状態の局在化を、リゾルベント推定とシュールの補題により分析する。
• ヤングの畳み込み不等式を用いて、格子添え字に関する和を評価し、$\chi_{\mathbf{k}}(X - m_1)\psi_{\mathbf{m}}^{(j)}$ の行列要素に対する減衰推定を保証する。
• 重み $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ を用いた重み付き $L^2$ ノルムを導入し、代数的減衰を指数的減衰と関連付ける。
• 補題 A.2 を用いて、重み付き演算子が基底状態に作用する際の $L^2$ ノルムを評価し、$s > 5/2$ 条件のもとでその有限性を保証する。
• シュールの補題と畳み込み推定を $m_1$ および $m_2$ 方向に繰り返し適用することで、行列要素に対する一様な境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的2次元絶縁体において、$|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ の $L^2$-可積分性を示す代数的局在化が、指数的局在化を意味するか？
• RQ2 トポロジカル不変量や結晶対称性を用いずに、局在化二分法予想を支持できるか？
• RQ3 非周期的系においてフェルミ射影の空間的局在化を捉える自己共役演算子を構成可能か？
• RQ4 ワナーマー関数の指数的局在化を保証する最小の減衰条件は何か？
• RQ5 シュールの補題やヤングの不等式といった関数解析的技法を用いて、非周期的系における局在化の等価性をどのように証明できるか？

主な発見

• ある正規直交基底 $\{w(\mathbf{x})\}$ が存在し、$\int |\mathbf{x}|^{5+\epsilon} |w(\mathbf{x})|^2 d\mathbf{x} < \infty$ を満たす $\epsilon > 0$ が存在するならば、指数的局在化を持つ基底が存在する。
• 指数的局在化は、ある $\gamma^* > 0$ を用いて $e^{2\gamma^*|\mathbf{x}|}$ の減衰率で達成され、基底全体に一様に成立する。
• 周期性や対称性を仮定せず、自己共役かつ局所的に定義された演算子 $\widehat{X}$ の構成が、証明の根幹をなす。
• 証明はシュールの補題とヤングの畳み込み不等式による行列要素の境界評価に依存し、$L^2$-ノルムの有界性は補題 A.2 により保証される。
• 基底状態が $s > 5/2$ の $s$ 次モーメントを有限に持つ条件のもとで、推定が成立する。
• 主な技術的ステップは、和 $\sum_{\mathbf{m}'} \sum_{\mathbf{k}} \frac{|m_1 - k_1|}{|\lambda - m_1'|} \frac{\|\chi_{\mathbf{k}}(X - m_1)\psi_{\mathbf{m}}^{(j)}\|}{\langle m_1' - k_1\rangle^{1/2+\epsilon}\langle m_2' - k_2\rangle^{1+\epsilon}}$ が一様に有界であることを示すことであり、これが指数的局在化を示唆する。