[論文レビュー] Algebraic Representations of Ergodic Actions and Super-Rigidity

Uri Bader, Alex Furman|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Margulis と Zimmer の超剛性定理を、測度論的作用の代数的表現を確立し、任意の絶対値を備えた完備体上の高ランク群および群の積に対するコサイクル超剛性を示すことによって拡張する。主な結果は、Zariski 稠密性と有界性の下で、格から群へのホモモーフィズムが、包摂群へ連続的に拡張可能であり、混合性と非退化性の条件下でコサイクルがホモモーフィズムとコホモロジーラスであることを示している。

ABSTRACT

We revisit Margulis-Zimmer Super-Rigidity and provide some generalizations. In particular we obtain super-rigidity results for lattices in higher-rank groups or product of groups, targeting at algebraic groups over arbitrary fields with absolute values. We also obtain cocycle super-rigidity results for a wide class of groups with respect to mixing actions. Our approach is based on a systematic study of algebraic representations of ergodic actions.

研究の動機と目的

• 任意の絶対値を備えた完備体上での高ランク群の格への Margulis の超剛性定理を一般化すること。
• 逐次的に可換な非コンパクト部分群によって生成される群の混合作用に対するコサイクル超剛性を確立すること。
• 均一格および S-整数群に関する先行研究を統一的かつ体系的に研究することで、測度論的作用の代数的表現を用いてそれらを拡張すること。
• 混合作用上の非退化コサイクルが、アドジョイント単純代数的群への連続ホモモーフィズムとコホモロジーラスであることを証明すること。
• マッピングクラス群、自由群の自己同型群、右角アーティン群など、多様な群に対して適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• k-代数的群とk-代数的集合を用いて、測度論的群作用の代数的表現の体系的理論を構築する。
• 逐次的に可換で非コンパクトな部分群によって生成される局所コンパクト第二可算群の構造を利用する。
• アメニタリティの議論と可測バンドル内の不変セクションを用いて、コサイクルから等変写像を構成する。
• 双準同型表現の圏における初期対象の存在を活用して、コンパクト部分群とホモモーフィズムを構成する。
• Howe-Moore の定理と混合性の性質を用いて、測度論的可約性を保証し、格から全群へのホモモーフィズムの拡張を実現する。
• 引き戻しとコホモロジーの技法を適用して、コサイクル問題を、余剰集合空間および有界部分群による商への等変写像に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランク群の格から、任意の絶対値を備えた完備体上の高ランク群へのホモモーフィズムが、包摂群へ連続的に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 混合作用上の可測コサイクルが、連続群ホモモーフィズムとコホモロジーラスとなる条件は何か？
• RQ3 作用群にどのような構造的条件（例えば、可換部分群によって生成されること）が、コサイクルの超剛性を保証するか？
• RQ4 測度論的作用の代数的表現の理論をどのように用いて、Margulis および Zimmer の超剛性定理を一般化できるか？
• RQ5 マッピングクラス群、自由群の自己同型群など、どのような群のクラスがコサイクル超剛性の条件を満たすか？

主な発見

• 定理 1.1 は、高ランク $l$-群の格から $G(k)$ への Zarski 稠密かつ有界なホモモーフィズムが、包摂群 $T$ から $G$ への連続ホモモーフィズムに拡張可能であることを確立する。
• 定理 1.2 は、この結果を lcsc 群の積における非可約格に一般化し、このようなホモモーフィズムが全積群へ連続的に拡張可能であることを示す。
• 定理 1.3 は、アメニタリティを備えた最初の因子を持つ逐次的に可換な非コンパクト部分群によって生成される群 $T$ に対して、$G(k)$ への非退化コサイクルが、連続ホモモーフィズムとコホモロジーラスであることを証明する。
• 証明では、$(S,T_0)$-作用が $c$-可約性を満たすならば、コサイクルが有界部分群とコホモロジーラスであることが示され、非退化性と矛盾する。したがって、初期仮定は成立しない。
• 双準同型表現の圏における初期対象の存在から、コンパクト部分群 $L_i$ とホモモーフィズム $d_i: T_i \to L_i$ が得られ、$G/N$ への $c$-等変写像の構成が可能になる。
• 系 13.4 は、測度論的カップリングにおいて、コサイクル $c:S\times X\to G$ が、連続ホモモーフィズム $d:T\to G$ と合成した $d\bigcirc e$ とコホモロジーラスであることを示している。