[論文レビュー] Homological methods in semi-infinite contexts

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、半無限的文脈におけるホモロジー的技法を発展させ、特にDGカテゴリへの群作用をループ群やアフィンリー代数へと拡張する。無限次元のindscheme上のind- coherent sheaves、群indschemeの弱作用、およびモジュラー特徴の観点から半無限コホモロジーの新しい構成を導入し、結果として、臨界レベルのカク・ムーディ表現の導来カテゴリがループ群およびその中心からの対称性を有することを証明する。

ABSTRACT

Actions of algebraic groups on DG categories provide a convenient, unifying framework in some parts of geometric representation theory, especially the representation theory of reductive Lie algebras. We extend this theory to loop groups and affine Lie algebras, extending previous work of Beraldo, Gaitsgory and the author. Along the way, we introduce some subjects of independent interest: ind-coherent sheaves of infinite type indschemes, topological DG algebras, and weak actions of group indschemes on categories. We also present a new construction of semi-infinite cohomology for affine Lie algebras, based on a modular character for loop groups. As an application of our methods, we establish an important technical result for Kac-Moody representations at the critical level, showing that the appropriate ("renormalized") derived category of representations admits a large class of symmetries coming from the adjoint action of the loop group and from the center of the enveloping algebra.

研究の動機と目的

• 再帰的群からループ群およびアフィンリー代数へのDGカテゴリ上の群作用の理論を、半無限的文脈へと拡張すること。
• ループ群の文脈におけるハリシュ・チャンドラデータの枠組みを構築し、無限次元的設定に特有の微妙な技術的条件に対処すること。
• ループ群 $G(K)$ のモジュラー特徴を用いて、アフィンリー代数のための半無限コホモロジーを構成すること。
• 導来カテゴリが臨界レベルのカク・ムーディ表現に、ループ群およびその中心からの可換作用を有することを確立すること。これは新しいカテゴリカル枠組みを通じて達成される。
• 局所的幾何学的ラングランズにおけるヒューリスティカルな構成、特にアーベル的状況における量子局所ラングランズのバイモジュールを、厳密に完成させること。

提案手法

• 適切なindscheme上のind- coherent sheavesを導入する—これは、準コンパactかつ準分離的で、最終的にコネクティヴであるスキームのフィルター付き帰納極限であり、ほとんど有限生成な閉埋め込みを持つ。
• 適切なindscheme $S$ に対して $ ext{IndCoh}^*(S)$ に $t$-構造を定義し、$t$-正確な押し出し写像とコンパクト生成性を保証する。
• DGカテゴリ上の群indschemeの弱作用の理論を発展させ、高階カテゴリカルな文脈における厳密な群作用を一般化する。
• ループ群 $G(K)$ のモジュラー特徴を用いて、アフィンリー代数のための半無限コホモロジーの新しいバージョンを構成する。
• Kan拡張および左随伴関手を用いて、$ ext{IndCoh}^*$ をスキームから収束するプレスタックへ拡張し、$t$-構造とコンパクト対象を保つ。
• 理論を適用して、$ ext{Rep}_{ ext{crit}}( ilde{rak{g}})$ がFeigin-Frenkel同型を通じて $G(K)$ および中心 ${rak{Z}}$ からの可換作用を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群から半無限的文脈におけるループ群へのDGカテゴリ上の群作用の理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 ループ群 $G(K)$ の無限次元的性質を考慮すると、DGカテゴリ上の $G(K)$-作用を定義するための適切なハリシュ・チャンドラデータの条件は何か？
• RQ3 アフィンリー代数のための半無限コホモロジーは、ループ群のモジュラー特徴を用いて構成可能か？
• RQ4 中心 ${rak{Z}}$ およびループ群 $G(K)$ は、臨界レベルのカク・ムーディ表現の導来カテゴリにどのように作用するか？これらの作用は可換か？
• RQ5 アーベル的状況における局所ラングランズバイモジュールのヒューリスティカルな構成は、この新しい枠組みを用いて完成可能か？

主な発見

• 臨界レベルのカク・ムーディ表現の導来カテゴリは、以前の幾何的構成を拡張した明確なループ群 $G(K)$ の作用を有する。
• 完成化された包あらゆる代数 $U( ilde{rak{g}}_{ ext{crit}})$ の中心 ${rak{Z}}$ は、同じカテゴリ上に作用し、$G(K)$-作用と可換である。
• Feigin-Frenkel同型により、$ ext{Spf}({rak{Z}})$ は、穴あき円板上の $ ilde{G}$-オーバーと同一視され、中心の幾何的解釈が得られる。
• ループ群 $G(K)$ のモジュラー特徴を用いた、アフィンリー代数のための半無限コホモロジーの新しい構成が達成された。これは古典的手法を一般化する。
• 適切なindscheme上のind- coherent sheavesの理論は、標準的な $t$-構造とコンパクト生成性を備えて発展され、無限次元幾何におけるホモロジー的技法を可能にする。
• この枠組みにより、以前はヒューリスティカルなハリシュ・チャンドラデータに依存していた、量子局所ラングランズ予想のアーベル的状況の完成が可能になった。